Stronę tą wyświetlono już: 4095 razy

Potęgowanie jest odwrotnością pierwiastkowania, podstawowy wzór na całkowitą n-tą potęgę liczby a jest następujący:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^n=\prod_{i=1}^{n}{a}

Podniesienie do potęgi np. 100 dowolnej liczby a wymaga stukrotnego mnożenia a. Nie jest to zbyt przyjemne i wydajne, jednakże można obliczenia usprawnić, znając podstawowe zasady potęgowania, które są następujące:

Dla mnożenia potęg liczby a zachodzi równość:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^n\cdot a^k=a^{n+k}

Dla dzielenia potęg liczby a zachodzi równość:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{a^n}{a^k}=a^{n-k}

Ktoś kiedyś zadał mi pytanie, dlaczego a⁰=1 ? Odpowiedzią na to pytanie jest wzór [3], wystarczy podstawić za n i k 1 w następujący sposób:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{a^1}{a^1}=a^{1-1}=a^0=1

Korzystając z zależności [2] potęgę a¹⁰⁰ można rozpisać w następujący sposób:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^{100}=a^{2^6}\cdot a^{2^5} \cdot a^{2^2}=a^{64}\cdot a^{32}\cdot a^{4}

Powyższe rozpisanie potęgi a¹⁰⁰ wynika z następującego ciągu:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b_n=a^{2^{n-1}}

rozpisując 8 pierwszych elementów ciągu [6] otrzymuje się następujące potęgi liczby a:

Mnożąc przez siebie elementy ciągu b_n, dla których suma potęg jest równa 100, uzyskuje się a¹⁰⁰. Do określenia elementów ciągu b_n, które należy przemnożyć przez siebie może posłużyć zapis binarny potęgi liczby a wynoszącej w rozpatrywanym przypadku 100. Binarny zapis liczby 100 jest więc następujący:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

100d=1100100b

Zaczynając od prawej strony kolejne cyfry zapisu binarnego potęgi odpowiadają kolejnym elementom ciągu b_n, przy czym wartość 1 oznacza element ciągu b_n, który jest składową iloczynu potęg [5]. I tak dla:

• n=1 pierwsza cyfra od prawej strony zapisu binarnego potęgi 100 jest równa 0;
• n=2 → 0;
• n=3 → 1 - będzie mnożona;
• n=4 → 0;
• n=5 → 0;
• n=6 → 1 - będzie mnożona;
• n=7 → 1 - będzie mnożona.

I stąd wiadomo, że elementy ciągu b₃, b₆ i b₇ przemnożone przez siebie dają w wyniku a¹⁰⁰. W ten sposób liczba przemnożeń skraca się z 100 do 7 potrzebnych do wyznaczenia kolejnych elementów ciągu b_n i dwóch mnożeń b₃ ⋅ b₆ ⋅ b₇, razem więc 9 operacji mnożenia w celu wyznaczenia a¹⁰⁰.

Liczbę podnoszoną do ujemnej potęgi n można wyznaczyć poprzez obliczenie odwrotności potęgi -n, co wynika ze wzoru [3]. Wzór więc przyjmuje następującą postać:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^{n}=frac{1}{a^{-n}}

Istnieje ścisłe powiązanie potęgowania z pierwiastkowaniem, które opisuje następująca równość:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m}

Wykorzystując wzór [9] można obliczyć przybliżoną wartość każdej potęgi.