Stronę tą wyświetlono już: 4580 razy

Podstawowe typy zapisów liczb zespolonych

Liczby zespolone są rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną. Innymi słowy, jeżeli miałbym określić czym jest liczba zespolona to jest ona wektorem, który przez wzgląd na swój charakter jest często zapisywany w następującej postaci algebraicznej:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

z=a+bi

gdzie:

• a - część rzeczywista liczby zespolonej;
• bi - część urojona liczby zespolonej

Istnieje również zapis związany z układem biegunowym:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

z = a + bi = |z|\cdot\frac{a}{|z|} + |z|\cdot\frac{b}{|z|}i = |z|\cdot(\cos \varphi + i\sin \varphi)

gdzie:

• φ - kąt zawarty pomiędzy osią liczb rzeczywistych a wektorem;
• z - wektor liczby zespolonej;
• |z| - moduł liczby zespolonej (długość wektora);
• a - część rzeczywista liczby zespolonej;
• bi - część urojona liczby zespolonej

Graficznie więc liczba zespolona będzie wyglądała tak, jak na poniższym rysunku.

Zastosowanie liczb zespolonych

Główne dwa interesujące mnie zastosowania liczb zespolonych ograniczają się do zastosowania opisu zjawiska impedancji występującego w układach zasilanych prądem przemiennym sinusoidalnym, gdzie w wyniku zastosowanie różnych elementów takiego układu często występuje zjawisko przesunięcia fazowego funkcji napięcia u(t) względem funkcji natężenia prądu i(t). W elektrotechnice ze względów praktycznych jednostkę urojoną oznacza się literą j z tego względu, że i oznacza tam natężenie prądu elektrycznego.

Kolejnym zastosowaniem jest obróbka sygnałów cyfrowych, które oczywiście mogą opisywać dźwięk ale nie tylko. Okazuje się bowiem, że również i w dziedzinie fotografii i przechowywania obrazów (kompresja jpg) ma zastosowanie algorytm FFT oraz IFFT, który z kolei umożliwia optymalizację kompresji obrazu, eliminację szumów, podbijanie określonych częstotliwości dźwięku czy też i ich eliminacja.