Kratownice statycznie wyznaczalne

Stronę tą wyświetlono już: 4506 razy

Podstawowe definicje:

Kratownica - układ nieważkich prętów połączonych węzłami, który może być obciążony jedynie siłami skupionymi w jej węzłach. Kratownice można podzielić na płaskie i przestrzenne.

Węzeł - punkt, w którym pręty kratownicy łączą się.

Pręt - element leżący pomiędzy dwoma węzłami kratownicy.

Kratownica płaska jest statycznie wyznaczalna, gdy jest możliwe wyznaczenie jej reakcji za pomocą równań równowagi, oraz gdy podwojona liczba węzłów w kratownicy jest równa sumie liczby prętów p oraz reakcji r kratownicy. Wynika to z faktu, że dla każdego węzła kratownicy płaskiej możliwe jest napisanie dwóch statycznych równań równowagi (suma rzutów sił na oś X i suma rzutów sił na oś y), natomiast liczba niewiadomych do wyznaczenia jest równa liczbie prętów i reakcji, które trzeba wyznaczyć aby możliwe było obliczenie sił w prętach.

Gdy prawa strona równania [1] jest większa od lewej, kratownica jest niedosztywniona (czyli jest mechanizmem), w przeciwnym przypadku kratownica jest przesztywniona (statycznie niewyznaczalna).

Zadanie 1

Wyznaczyć reakcje kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 1 i obliczyć siły występujące w jej prętach.

Rysunek kratownicy do zadania 1
Rys. 1
Rysunek kratownicy statycznie wyznaczalnej z podporą przeswną i stałą, obciążonej siłami Q.

Dane:

a[m]; Q = /sqrt{2}[kN]; /alpha=45^{/circ}

Rozwiązanie:

Wyznaczenie reakcji podpór kratownicy za pomocą statycznych równań równowagi:

Teraz należy obliczyć siły w prętach kratownicy. W tym przypadku najlepiej zacząć od dowolnego węzła, w którym łączą się dwa pręty i kolejno rozpisując układy równań równowagi dla poszczególnych węzłów wyznaczać siły w prętach (kąty pomiędzy prętami kratownicy biegnącymi w na ukos są równe 60 i 30 stopni co wynika z rysunku 1).

Węzeł kratownicy z siłami S1, S2, Rax, Ray
Węzeł kratownicy z siłami S1, S3, S4
Węzeł kratownicy z siłami S4, S5, S6
Węzeł kratownicy z siłami S6, S7, R

Dodatkowe równanie, które stanowi jedynie sprawdzenie poprawności obliczenia siły S6:

Węzeł kratownicy z siłami S2, S3, S5, S7 Dodatkowe równanie, które stanowi jedynie sprawdzenie poprawności obliczenia sił S2, S3, S5 oraz S7:

Zadanie 2

Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 2.

Rysunek kratownicy do zadania 2
Rys. 2
Rysunek kratownicy statycznie wyznaczalnej z podporą przesuwną i stałą, obciążonej siłami P, 2⋅P.

Dane:

a; P

Rozwiązanie:

Równania równowagi dla wyznaczenia reakcji podpór (kąty pomiędzy prętami kratownicy biegnącymi w poprzek są równe 45° co wynika z rysunku 2):

Równania równowagi dla węzła A:

Równania równowagi dla węzła 3:

Równania równowagi dla węzła 1:

Równanie równowagi dla węzła 2:

Siła S7=0 ponieważ pręt w którym owa siła występuje nie przenosi żadnego obciążenia.

Równania równowagi dla węzła 4:

Równanie sprawdzające poprawność obliczeń:

Równanie równowagi dla węzła B sprawdzające poprawność obliczeń:

Zadanie 3 - do samodzielnego rozwiązania.

Wyznaczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 3.

Rysunek kratownicy do zadania 3
Rys. 3
Rysunek kratownicy statycznie wyznaczalnej z podporą przesuwną i stałą, obciążonej siłami Q1, Q2, Q3, Q4.

Dane:

a=1[m]; Q1=20[N]; Q2=50[N]; Q3=21[N]; Q4=10[N]

Odpowiedzi:

Reakcje podpór:

Rax = -10[N]

Ray = -23 / 3[N]

R = 170/3[N]

Siły w prętach kratownicy można odczytać z rysunku 4.

Rysunek kratownicy z obliczonymi siłami
Rys. 4
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach.

Zadanie 4

Wyznaczyć siły w prętach 6, 7, 8 kratownicy statycznie wyznaczalnej z zadania 3.

Rozwiązanie:

Można oczywiście wyliczyć siły w prętach kratownicy metodą analityczną równoważenia węzłów (jak w zadaniach 1, 2 i 3), jednak nie oto chodzi żeby się katować niepotrzebnymi obliczeniami. Istnieje metoda przekrojów Rittera, która umożliwia szybkie wyznaczenie sił w wybranych prętach. Są jednak pewne ograniczenia, przekrój musi przecinać trzy pręty oraz wszystkie pręty nie mogą zbiegać się w jednym węźle. Jak wynika z rysunku 3, pręty w których siły należy wyliczyć spełniają te kryteria.

Po przecięciu kratownicy do wyboru do koloru mamy dwie możliwości:

liczyć siły w prętach z lewej strony przekroju kratownicy w następujący sposób (pomijam wyliczanie reakcji, ponieważ to była część zadania 3):

Lewa część przekroju kratownicy z zadania 18

Suma momentów względem punktu I:

Suma momentów względem punktu II:

Suma rzutów sił na oś Y:

lub z prawej strony przekroju kratownicy w analogiczny sposób:

Prawa część przekroju kratownicy z zadania 18

Suma momentów względem punktu I

Suma momentów względem punktu II:

Suma rzutów sił na oś Y:

Zadanie 5

Obliczyć metodą przekrojów Rittera siły S2, S6 i S5 prętów kratownicy z zadania 2.

Zadanie 6

Obliczyć reakcje podpór i siły w trzech dowolnych prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 5. Odległość pomiędzy sąsiadującymi węzłami kratownicy w poziomie i pionie jest taka sama i równa się 1 m. Siły dane zostały na rysunku.

Rysunek kratownicy reakcjami i siłami w prętach
Rys. 5
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach. (Kliknij na ilustracji, aby zobaczyć rysunek w powiększeniu).

Sprostowanie: nie jestem na tyle szalony, aby liczyć taką kratownicę ręcznie, ale na tyle szalony, aby napisać własny program, który tę kratownicę rozwiązał za mnie, narysował i pręty pokolorował. Mało tego, ten sam program rozpisał równania dla poszczególnych węzłów, których tutaj nie przytoczę, bo w końcu to jest część zadania.

Zadanie 7

Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 6. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie i pionie węzłami wynosi 1 m.

Rysunek kratownicy reakcjami i siłami w prętach
Rys. 6
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach.

Układy równań:

Węzeł: 1

sum{F_x}=0:,-S_{1}-0.7071067812cdot S_{3}+R_{1x}=0

sum{F_y}=0:,-0.7071067812cdot S_{3}-R_{1y}=0

Węzeł: 2

sum{F_x}=0:,S_{1}-S_{4}-0.7071067812cdot S_{6}=0

sum{F_y}=0:,-S_{2}+0.7071067812cdot S_{6}=50

Węzeł: 3

sum{F_x}=0:,0.7071067812cdot S_{3}-0.7071067812cdot S_{5}=50

sum{F_y}=0:,S_{2}+0.7071067812cdot S_{3}+0.7071067812cdot S_{5}=-0

Węzeł: 4

sum{F_x}=0:,S_{4}+0.7071067812cdot S_{5}-S_{8}=0

sum{F_y}=0:,-0.7071067812cdot S_{5}+S_{7}=-50

Węzeł: 5

sum{F_x}=0:,0.7071067812cdot S_{6}-0.7071067812cdot S_{9}=-50

sum{F_y}=0:,-0.7071067812cdot S_{6}-S_{7}-0.7071067812cdot S_{9}=-0

Węzeł: 6

sum{F_x}=0:,S_{8}+0.7071067812cdot S_{9}=0

sum{F_y}=0:,0.7071067812cdot S_{9}-R_{6y}=0

Zadanie 8

Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 7. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie i pionie węzłami wynosi 1 m.

Rysunek kratownicy reakcjami i siłami w prętach
Rys. 7
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach.

Układy równań:

Węzeł: 1

sum{F_x}=0:,-S_{1}-0.7071067812cdot S_{3}+R_{1x}=0

sum{F_y}=0:,-0.7071067812cdot S_{3}-R_{1y}=0

Węzeł: 2

sum{F_x}=0:,S_{1}-S_{4}-0.7071067812cdot S_{6}=0

sum{F_y}=0:,-S_{2}+0.7071067812cdot S_{6}=-80

Węzeł: 3

sum{F_x}=0:,0.7071067812cdot S_{3}-0.7071067812cdot S_{5}=0

sum{F_y}=0:,S_{2}+0.7071067812cdot S_{3}+0.7071067812cdot S_{5}=0

Węzeł: 4

sum{F_x}=0:,S_{4}+0.7071067812cdot S_{5}-S_{8}-0.7071067812cdot S_{10}=0

sum{F_y}=0:,-0.7071067812cdot S_{5}+S_{7}-0.7071067812cdot S_{10}=0

Węzeł: 5

sum{F_x}=0:,0.7071067812cdot S_{6}-0.7071067812cdot S_{9}=0

sum{F_y}=0:,-0.7071067812cdot S_{6}-S_{7}-0.7071067812cdot S_{9}=-160

Węzeł: 6

sum{F_x}=0:,S_{8}+0.7071067812cdot S_{9}-S_{12}=0

sum{F_y}=0:,0.7071067812cdot S_{9}-S_{11}=-80

Węzeł: 7

sum{F_x}=0:,0.7071067812cdot S_{10}-0.7071067812cdot S_{13}=0

sum{F_y}=0:,0.7071067812cdot S_{10}+S_{11}+0.7071067812cdot S_{13}=0

Węzeł: 8

sum{F_x}=0:,S_{12}+0.7071067812cdot S_{13}=0

sum{F_y}=0:,-0.7071067812cdot S_{13}-R_{8y}=0

Zadanie 9

Obliczyć reakcje i siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 8. Odległość pomiędzy sąsiadującymi w poziomie 1 m a w pionie 1,5 m.

Rysunek kratownicy reakcjami i siłami w prętach
Rys. 8
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach.

Węzeł: 1

sum{F_x}=0:,-S_{2}=0

sum{F_y}=0:,S_{1}-R_{1y}=0

Węzeł: 2

sum{F_x}=0:,-S_{4}-0.5547001962cdot S_{5}=0

sum{F_y}=0:,-S_{1}-0.8320502943cdot S_{5}=0

Węzeł: 3

sum{F_x}=0:,S_{2}+0.5547001962cdot S_{5}-0.5547001962cdot S_{6}-S_{8}=0

sum{F_y}=0:,S_{3}+0.8320502943cdot S_{5}+0.8320502943cdot S_{6}=-150

Węzeł: 4

sum{F_x}=0:,S_{4}-S_{7}=0

sum{F_y}=0:,-S_{3}=0

Węzeł: 5

sum{F_x}=0:,0.5547001962cdot S_{6}+S_{7}-0.5547001962cdot S_{10}-S_{12}=0

sum{F_y}=0:,-0.8320502943cdot S_{6}-S_{9}-0.8320502943cdot S_{10}=0

Węzeł: 6

sum{F_x}=0:,S_{8}-S_{11}=-0

sum{F_y}=0:,S_{9}=-100

Węzeł: 7

sum{F_x}=0:,0.5547001962cdot S_{10}+S_{11}-0.5547001962cdot S_{14}-S_{16}=0

sum{F_y}=0:,0.8320502943cdot S_{10}+S_{13}+0.8320502943cdot S_{14}=-50

Węzeł: 8

sum{F_x}=0:,S_{12}-S_{15}=0

sum{F_y}=0:,-S_{13}=0

Węzeł: 9

sum{F_x}=0:,0.5547001962cdot S_{14}+S_{15}-S_{18}=0

sum{F_y}=0:,-0.8320502943cdot S_{14}-S_{17}+S_{20}=0

Węzeł: 10

sum{F_x}=0:,S_{16}-0.5547001962cdot S_{19}+R_{10x}=0

sum{F_y}=0:,S_{17}+0.8320502943cdot S_{19}-R_{10y}=0

Węzeł: 11

sum{F_x}=0:,S_{18}+0.5547001962cdot S_{19}+0.5547001962cdot S_{21}=0

sum{F_y}=0:,-0.8320502943cdot S_{19}+0.8320502943cdot S_{21}+S_{22}=0

Węzeł: 12

sum{F_x}=0:,-0.5547001962cdot S_{21}-S_{23}+0.5547001962cdot S_{26}=0

sum{F_y}=0:,-S_{20}-0.8320502943cdot S_{21}+S_{24}+0.8320502943cdot S_{26}=0

Węzeł: 13

sum{F_x}=0:,S_{23}+0.5547001962cdot S_{25}=-100

sum{F_y}=0:,-S_{22}+0.8320502943cdot S_{25}=0

Węzeł: 14

sum{F_x}=0:,-0.5547001962cdot S_{25}+S_{27}=0

sum{F_y}=0:,-S_{24}-0.8320502943cdot S_{25}=0

Węzeł: 15

sum{F_x}=0:,-0.5547001962cdot S_{26}-S_{27}=0

sum{F_y}=0:,-0.8320502943cdot S_{26}=-150

Zadanie 10

Oblicz reakcje sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 9, w której odległość pomiędzy prętami pionowymi wynosi 1 m a długości prętów pionowych wynosi: L7=L10=100, L9=L12=145, L14=L18=170, L20=180.

Rysunek kratownicy reakcjami i siłami w prętach
Rys. 9
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach.

Równania:

Węzeł: 1

sum{F_x}=0:,-S_{1}-0.5677329558cdot S_{25}=0

sum{F_y}=0:,-S_{7}-0.8232127859cdot S_{25}=0

Węzeł: 2

sum{F_x}=0:,S_{1}-S_{2}=0

sum{F_y}=0:,-S_{9}=-65

Węzeł: 3

sum{F_x}=0:,S_{2}-S_{3}-0.4856429312cdot S_{23}+0.5677329558cdot S_{24}=0

sum{F_y}=0:,-S_{18}-0.8741572761cdot S_{23}-0.8232127859cdot S_{24}=-95

Węzeł: 4

sum{F_x}=0:,S_{3}-S_{4}=0

sum{F_y}=0:,-S_{20}=-115

Węzeł: 5

sum{F_x}=0:,S_{4}-S_{5}-0.5677329558cdot S_{16}+0.4856429312cdot S_{22}=-0

sum{F_y}=0:,-S_{14}-0.8232127859cdot S_{16}-0.8741572761cdot S_{22}=-90

Węzeł: 6

sum{F_x}=0:,S_{5}-S_{6}=-0

sum{F_y}=0:,-S_{12}=-50

Węzeł: 7

sum{F_x}=0:,S_{6}+0.5677329558cdot S_{15}=0

sum{F_y}=0:,-S_{10}-0.8232127859cdot S_{15}=0

Węzeł: 8

sum{F_x}=0:,-0.9119215052cdot S_{8}+R_{8x}=0

sum{F_y}=0:,S_{7}-0.4103646773cdot S_{8}-R_{8y}=0

Węzeł: 9

sum{F_x}=0:,0.9119215052cdot S_{8}-0.9701425001cdot S_{17}-0.5677329558cdot S_{24}+0.5677329558cdot S_{25}=0

sum{F_y}=0:,0.4103646773cdot S_{8}+S_{9}-0.242535625cdot S_{17}+0.8232127859cdot S_{24}+0.8232127859cdot S_{25}=0

Węzeł: 10

sum{F_x}=0:,0.9119215052cdot S_{11}=0

sum{F_y}=0:,S_{10}-0.4103646773cdot S_{11}-R_{10y}=0

Węzeł: 11

sum{F_x}=0:,-0.9119215052cdot S_{11}+0.9701425001cdot S_{13}-0.5677329558cdot S_{15}+0.5677329558cdot S_{16}=0

sum{F_y}=0:,0.4103646773cdot S_{11}+S_{12}-0.242535625cdot S_{13}+0.8232127859cdot S_{15}+0.8232127859cdot S_{16}=0

Węzeł: 12

sum{F_x}=0:,-0.9701425001cdot S_{13}+0.9950371902cdot S_{21}=0

sum{F_y}=0:,0.242535625cdot S_{13}+S_{14}-9.950371902e-002cdot S_{21}=0

Węzeł: 13

sum{F_x}=0:,0.9701425001cdot S_{17}-0.9950371902cdot S_{19}=0

sum{F_y}=0:,0.242535625cdot S_{17}+S_{18}-9.950371902e-002cdot S_{19}=0

Węzeł: 14

sum{F_x}=0:,0.9950371902cdot S_{19}-0.9950371902cdot S_{21}-0.4856429312cdot S_{22}+0.4856429312cdot S_{23}=0

sum{F_y}=0:,9.950371902e-002cdot S_{19}+S_{20}+9.950371902e-002cdot S_{21}+0.8741572761cdot S_{22}+0.8741572761cdot S_{23}=0

Zadanie 11

Oblicz reakcje sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej z rysunku 10, w której odległość pomiędzy sąsiadującymi węzłami w poziomie i pionie wynosi 1 m.

Rysunek kratownicy reakcjami i siłami w prętach
Rys. 10
Rysunek kratownicy z naniesionymi wartościami sił w prętach.

Równania:

Węzeł: 1

sum{F_x}=0:,-0.7071067812cdot S_{19}+0.7071067812cdot S_{20}=0

sum{F_y}=0:,-S_{1}-0.7071067812cdot S_{19}-0.7071067812cdot S_{20}+60=0

Węzeł: 2

sum{F_x}=0:,S_{2}-S_{9}+0.7071067812cdot S_{26}-0.7071067812cdot S_{27}=0

sum{F_y}=0:,S_{1}-0.7071067812cdot S_{26}-0.7071067812cdot S_{27}=0

Węzeł: 3

sum{F_x}=0:,-S_{2}-0.7071067812cdot S_{20}+0.7071067812cdot S_{21}=0

sum{F_y}=0:,-S_{3}+0.7071067812cdot S_{20}-0.7071067812cdot S_{21}+60=0

Węzeł: 4

sum{F_x}=0:,S_{4}+0.7071067812cdot S_{25}-0.7071067812cdot S_{26}=0

sum{F_y}=0:,S_{3}-0.7071067812cdot S_{25}+0.7071067812cdot S_{26}=0

Węzeł: 5

sum{F_x}=0:,-S_{4}-0.7071067812cdot S_{21}+0.7071067812cdot S_{22}=0

sum{F_y}=0:,-S_{5}+0.7071067812cdot S_{21}-0.7071067812cdot S_{22}+60=0

Węzeł: 6

sum{F_x}=0:,S_{6}+0.7071067812cdot S_{24}-0.7071067812cdot S_{25}=0

sum{F_y}=0:,S_{5}-0.7071067812cdot S_{24}+0.7071067812cdot S_{25}=0

Węzeł: 7

sum{F_x}=0:,-S_{6}-0.7071067812cdot S_{22}+0.7071067812cdot S_{23}=0

sum{F_y}=0:,-S_{7}+0.7071067812cdot S_{22}-0.7071067812cdot S_{23}+60=0

Węzeł: 8

sum{F_x}=0:,S_{8}-0.7071067812cdot S_{24}+0.7071067812cdot S_{31}=0

sum{F_y}=0:,S_{7}+0.7071067812cdot S_{24}-0.7071067812cdot S_{31}=0

Węzeł: 9

sum{F_x}=0:,-S_{8}-0.7071067812cdot S_{23}-0.7071067812cdot S_{30}=0

sum{F_y}=0:,0.7071067812cdot S_{23}-0.7071067812cdot S_{30}+60=0

Węzeł: 10

sum{F_x}=0:,S_{9}-0.7071067812cdot S_{18}+0.7071067812cdot S_{19}=0

sum{F_y}=0:,-S_{10}-0.7071067812cdot S_{18}+0.7071067812cdot S_{19}+60=0

Węzeł: 11

sum{F_x}=0:,-S_{11}+0.7071067812cdot S_{27}-0.7071067812cdot S_{28}=0

sum{F_y}=0:,S_{10}+0.7071067812cdot S_{27}-0.7071067812cdot S_{28}=0

Węzeł: 12

sum{F_x}=0:,S_{11}-0.7071067812cdot S_{17}+0.7071067812cdot S_{18}=0

sum{F_y}=0:,-S_{12}-0.7071067812cdot S_{17}+0.7071067812cdot S_{18}+60=0

Węzeł: 13

sum{F_x}=0:,-S_{13}+0.7071067812cdot S_{28}-0.7071067812cdot S_{29}=0

sum{F_y}=0:,S_{12}+0.7071067812cdot S_{28}-0.7071067812cdot S_{29}=0

Węzeł: 14

sum{F_x}=0:,S_{13}-0.7071067812cdot S_{16}+0.7071067812cdot S_{17}=0

sum{F_y}=0:,-S_{14}-0.7071067812cdot S_{16}+0.7071067812cdot S_{17}+60=0

Węzeł: 15

sum{F_x}=0:,-S_{15}+0.7071067812cdot S_{29}-0.7071067812cdot S_{32}=0

sum{F_y}=0:,S_{14}+0.7071067812cdot S_{29}-0.7071067812cdot S_{32}=0

Węzeł: 16

sum{F_x}=0:,S_{15}+0.7071067812cdot S_{16}+0.7071067812cdot S_{33}=0

sum{F_y}=0:,0.7071067812cdot S_{16}-0.7071067812cdot S_{33}+60=0

Węzeł: 17

sum{F_x}=0:,0.7071067812cdot S_{30}-0.7071067812cdot S_{31}+R_{17x}=0

sum{F_y}=0:,0.7071067812cdot S_{30}+0.7071067812cdot S_{31}-R_{17y}=0

Węzeł: 18

sum{F_x}=0:,0.7071067812cdot S_{32}-0.7071067812cdot S_{33}=0

sum{F_y}=0:,0.7071067812cdot S_{32}+0.7071067812cdot S_{33}-R_{18y}=0

Komentarze