Graficzne wyznaczanie reakcji podpór belek statycznie wyznaczalnych

Stronę tą wyświetlono już: 2467 razy

Tym razem pokażę, jak można wyznaczać graficznie reakcje belek obciążonych jedną prostą siłą skupioną P.

Rys. 1
Prosta belka, obciążona siłą P.

Aby wyznaczyć graficznie reakcje podpór trzeba narysować prostokąt o wysokości równej wektorowi siły P zaczynający się na podporze A i kończący się na podporze B. Następnie poprowadzić należy przekątne utworzonego prostokąta. Punkty przecięcia się tych przekątnych wyznaczają wektory reakcji podpór A i B. Dla podpory A jest to przecięcie się przekątnej wychodzącej z tejże podpory i analogicznie dla podpory B.

Rys. 2
Graficzne rozwiązanie zadania.

Powyższe rozwiązanie nawiązuje bezpośrednio do równań równowagi, jakie trzeba by było rozpisać aby matematycznie rozwiązać to zadanie. Chodzi w tym szczególnym przypadku o równanie momentów obrotowych belki względem podpory A i równanie momentów obrotowych względem podpory B, równania te będą miały następującą postać:

sum{M_B=0}: R_Acdot L-Pcdotleft(L-L_Aright)=0Rightarrow R_A=Pcdotcfrac{L-L_A}{L} [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum{M_B=0}: R_A\cdot L-P\cdot\left(L-L_A\right)=0\Rightarrow R_A=P\cdot\cfrac{L-L_A}{L}

sum{M_A=0}: R_Bcdot L-Pcdot L_A=0Rightarrow R_B=Pcdotcfrac{L_A}{L} [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum{M_A=0}: R_B\cdot L-P\cdot L_A=0\Rightarrow R_B=P\cdot\cfrac{L_A}{L}

Tak się jakoś składa, nie wiem z jakiego powodu, ale tak się składa, że otrzymane wzory na reakcje podpór RA i RB mają wiele wspólnego z tak zwanym twierdzeniem Talesa oraz możliwością jego zastosowania przy graficznym mnożeniu i dzieleniu, o czym rozpisałem się na stronie o Matematyka → Geometria → Twierdzenie Talesa, gdzie warto zwrócić uwagę na wzór [12].

Kolejny, nieco inny przypadek graficznego wyznaczania reakcji belki obciążonych siłą skupioną P, nie znajdującą się pomiędzy podporami tak jak na rysunku 3.

Graficzne wyznaczenie reakcji podpór belki statycznie wyznaczalnej
Rys. 3
Rysunek zadania do graficznego rozwiązania.

Również i w tym przypadku należy narysować prostokąt o wysokości równej sile skupionej P, ale tym razem zaczynający się w punkcie przyłożenia siły a kończący się na podporze B. Teraz należy od punktu podpory RB pociągnąć linię przechodzącą na wysokości równej wysokości prostokąta nad podporą RA. Linię tą należy pociągnąć aż do punktu znajdującego się nad punktem przyłożenia siły skupionej P. Odległość od punktu przyłożenia siły P do końca narysowanej linii to nic innego jak reakcja podpory A. Reakcję podpory B można uzyskać łącząc punktu podpory A z narożnikiem prostokąta znajdującym się nad podporą B. Linię tą tak samo przeciągnąć należy tak, aby pokryła się z punktem przyłożenia siły skupionej P, następnie łącząc ten punkt z końcem uzyskanej linii otrzymuje się reakcję podpory RB.

Rys. 4
Graficzne rozwiązanie zadania.

Oczywiście i tutaj zastosowana została graficzna zasada dzielenia z mnożeniem trzech wielkości fizycznych.

Kolejne zadanie z samym tylko obciążeniem ciągłym q, dla którego należy obliczyć wektor wypadkowy Fq siły pochodzącej od tegoż obciążenia.

Rys. 5
Rysunek: a) zadania belki z obciążeniem ciągłym; b) zamiana obciążenia ciągłego na wektor siły wypadkowej (zastosowanie konstrukcji graficznego mnożenia); c) wyznaczanie graficzne reakcji RA; d) graficzne wyznaczenie reakcji RB, która w tym przypadku została wyznaczona poprzez dopełnienie do zera wektora wypadkowego reakcji RA i wypadkowej siły Fq pochodzącej od obciążenia ciągłego q.

Kolejne proste zadanie belki obciążonej jedynie momentem obrotowym.

Rys. 6
Rysunek belki obciążonej jedynie momentem obrotowym.

Ostatni najbardziej złożony przykład belki obciążonej obciążeniem ciągłym q, siłą czynną F oraz momentem obrotowym M.

Rys. 7
Rysunek:
  • a) belki do rozwiązania;
  • b) wyznaczanie graficzne wypadkowej siły czynnej Fq obciążenia ciągłego q oraz przyłożenie robocze wektorów siły czynnej F i momentu obrotowego M nad podporą A;
  • c) wyznaczenie reakcji składowych podpory pochodzących od: siły wypadkowej Fq obciążenia ciągłego q, którego reakcja podpory oznaczona jest jako RA(Fq); siły czynnej F, której reakcja podpory oznaczona jest jako RA(F); momentu obrotowego M, dla którego reakcja podpory jest oznaczona jako RA(M);
  • d) wyznaczanie sumy wszystkich reakcji składowych, czyli: RA(Fq); RA(F) i RA(M) oraz graficzne wyznaczanie reakcji RB jako dopełnienia do zera sumy wszystkich sił czynnych i reakcji podpory RA

Komentarze

Tomasz

Data: 10-01-2015 17:35:59

Graficzne rozwiązanie z rys. 2 jest niepoprawne. Reakcja Ray będzie większa od Rby. Gdy P zbliża się do podpory A to Ray rośnie do wartości P a Rby maleje do zera. Belki proste są proste. Pozdrawiam. Tomasz

Administrator

Data: 11-01-2015 17:58:11

@Tomasz Rzeczywiście się pomyliłem, już zostało to naprawione więc dziękuję za słuszne spostrzeżenie.