Stożki

Stronę tą wyświetlono już: 20991 razy

Definicja stożka

Stożek prosty to bryła powstała w wyniku obrotu płaszczyzny trójkąta prostokątnego o kąt 360° względem osi przechodzącej przez jedną z przyprostokątnych tego trójkąta.

a)b)

Opis stożka prostego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Stożek prosty można opisać następującymi nierównościami:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} {x^2 +y^2 \le \left(\cfrac{zr}{h}\right)^2}\\ {0\le z\le h}\end{cases}

gdzie:

• promień r > 0;
• wysokość h > 0.

Parametryczny zapis funkcji powierzchni stożka prostego:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x = z\cdot\sin\,\varphi \\ y = z\cdot\cos\,\varphi \\ z=z \end{cases}

gdzie:

• φ zawiera się w przedziale od 0 do 2·π;
• z zawiera się w przedziale od 0 do h.

Przykład wygenerowanej płaszczyzny stożka za pomocą programu wxMaxima:

Podstawowe wzory

Objętość stożka dowolnego

Zarówno dla stożka prostego jak i pochyłego objętość można obliczyć z następującego wzoru:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h

gdzie:

• r - promień podstawy stożka;
• h - wysokość stożka.

Wyznaczaniem powyższego wzoru za pomocą całek zajmowałem się w zadaniu 1 na podstronie działu Matematyka → Całki oznaczone.

Pole powierzchni

Dla stożka prostego pole powierzchni można obliczyć korzystając z wzoru:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\pi\cdot r\cdot(r+L)

gdzie:

• r - promień stożka;
• L - długość tworzącej stożka.

Pole powierzchni bocznej stożka prostego:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_b=\pi\cdot r\cdot L

Długość tworzącej L stożka prostego

Tworzącą L można a czasem nawet i trzeba obliczyć z następującego wzoru:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=\sqrt{h^2+r^2}

Kąt α rozwarcia stożka prostego

Kąt rozwarcia α jest kątem przywierzchołkowym W poprzecznego osiowego przekroju stożka, wzór na ów kąt jest następujący:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=2\cdot\arctan\frac{r}{h}

Promień kuli opisanej na stożku prostym

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_o=\frac{r\cdot L^2}{2\cdot r\cdot h}

Promień kuli wpisanej w stożek prosty

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_w=\frac{r\cdot h}{r+L}

Przekroje stożka

Ścięcie stożka prostego płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii

Wynikiem ścięcia stożka płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii jest oczywiście trójkąt równoramienny.

Ścięcie stożka prostego płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek W

W wyniku przecięcia stożka prostego dowolną płaszczyzną taką, że wierzchołek W tego stożka należy do tej płaszczyzny skutkuje otrzymaniem trójkąta równoramiennego.

Ścięcie stożka prostego płaszczyzną równoległą do podstawy

Wynikiem ścięcia stożka prostego płaszczyzną równoległą do jego podstawy jest okrąg.

Wynikiem takiego zabiegu otrzymuje się bryłę nazywaną stożkiem ściętym, która również jest bryłą obrotową uzyskaną w wyniuku obrotu trapezu prostokątnego względem osi przechodzącej przez jego bok znajdujący się przy obu kątach prostych tego trapezu.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii większym niż połowa kąta jego rozwarcia α

Wynikiem takiego potraktowania stożka będzie płaszczyzna o zarysie eliptycznym.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii równym połowie kąta jego rozwarcia α

Wynikiem takiego ścięcia jest płaszczyzna o zarysie paraboli.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii większym niż połowa kąta jego rozwarcia α

Wynikiem takiego ścięcia jest płaszczyzna o zarysie hiperboli.

Stożek ścięty - podstawowe wzory

Objętość stożka ściętego

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot\pi \cdot h\cdot(r^2+r\cdot r_2+r_2^2)

Pole powierzchni bocznej

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_b=\pi\cdot L\cdot(r+r_2)

Wysokość stożka przed ścięciem

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

H=h+\frac{h\cdot r_2}{r-r_2}=\frac{h\cdot r}{r-r_2}

Długość tworzącej stożka

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=\sqrt{h^2+(r-r_2)^2}

Rozwinięcie siatki ostrosłupa prostego