Geometria

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 11776 razy

Geometria to dział matematyki związany z opisywaniem i badaniem różnych obiektów n-wymiarowych oraz przekształceń i operacji możliwych do wykonania na tych obiektach.

W geometrii operujemy pojęciem przestrzeni, która może być n wymiarowa, gdzie n jest liczbą naturalną.

Chociaż przestrzeni jest nieskończenie wiele, to ja ograniczę się tutaj do tych, które w naturalny sposób są nam znane.

Przestrzenie 0W (0 wymiarowe)

W przestrzeni 0W może zmieścić się tylko jeden typ obiektu taki, który nie ma ani szerokości, ani długości ani też wysokości. Wiemy powszechnie, że takie obiekty są czystą abstrakcją i nazywa się je punktami.

Przestrzenie 1W

W przestrzeni 1W można już zmieścić nieco więcej, a mianowicie można zmieścić tam wszystkie typy obiektów, które mają długość, ale nie mają szerokości ani wysokości. W tego typu przestrzeniach mieści się również każdy obiekt o wymiarach mniejszych niż n, a ponieważ jest w tym przypadku jeden taki wymiar, więc wszystkie punkty mieszczą się w wymiarze 1W. W Euklidesowych układach odniesienia (a do takich tutaj będę się odnosił) obiekty 1W to:

1) prosta - linia, która nie ma ani początku, ani końca (ciągnie się w dwóch kierunkach w nieskończoność);

2) półprosta - linia, która ma punkt początkowy, ale brak jej końca;

3) odcinek - ma punkty końcowe.

przykłady obiektów 1W — Rys. 1
Przykłady obiektów 1W

Jedno jest pewne: niezależnie jaki by to nie był obiekt 1W, zawsze w jego skład będzie wchodzić nieskończenie wiele obiektów 0W. Innymi słowy każda prosta, półprosta czy odcinek składają się z nieskończenie wielu punktów.

Ponieważ obiekty 0W są jednostkami podstawowymi, jako takie nie mają składowych.

Przestrzenie 2W

W przestrzeniach 2W można pomieścić obiekty, które mają długość i szerokość, ale nie mają wysokości. W tym wymiarze można również pomieścić wszystkie obiekty o wymiarach <n. Do obiektów 2W należą: płaszczyzna płaska (w układach Euklidesowych), figury płaskie, łuki oraz linie krzywe.

przykłady liniowych obiektów 2W — Rys. 2
Przykłady liniowych obiektów 2W: a) łamana (opisana zbiorem wektorów określających położenie kolejnych punktów); b) łuk (opisany np. za pomocą funkcji).

przykłady figur płaskich — Rys. 3
Przykłady figur płaskich.

Tak jak poprzednio, tak i teraz można powiedzieć z całą pewnością, że każdy obiekt 2W składa się z nieskończonej ilości punktów. Na każdej figurze płaskiej można odłożyć nieskończoną liczbę odcinków. Przez każdą linię krzywoliniową można przeprowadzić nieskończenie wiele prostych przecinających ją w co najmniej jednym punkcie.

Obiekty przestrzeni 2W mogą cechować się szerokością, długością i polem powierzchni.

Przestrzenie 3W

W przestrzeniach 3W pomieścimy cały nasz świat. Tutaj znajdą swoje miejsce obiekty cechujące się długością, szerokością jak i wysokością. Zmieszczą się tu również obiekty 2W, 1W oraz oczywiście te podstawowe i najmniejsze twory 0W. W przestrzeni 3W można pomieścić obiekty krzywoliniowe, które nie mogą się zmieścić na płaszczyźnie płaskiej, płaszczyzny krzywoliniowe, które również nie mogą się zmieścić na jednej płaszczyźnie płaskiej oraz oczywiście bryły przestrzenne.