Kreślenie wielokątów foremnych

Stronę tą wyświetlono już: 5652 razy

Kreślenie wielokątów foremnych o liczbie boków 3, 6 i 12 należy rozpocząć od odłożenia sześciu łuków równych promieniowi okręgu, w który te wielokąty są wpisane. Sześciokąt foremny uzyskuje się łącząc wszystkich sześć punktów, z sąsiednimi punktami, natomiast trójkąt równoramienny uzyskuje się poprzez połączenie co drugiego punktu. Narysowanie dwunastokąta foremnego wymaga podziału boków sześciokąta foremnego na dwie równe części, znalezienia punktów przecięcia z okręgiem oraz połączenia dwunastu punktów w upragniony dwunastokąt foremny.

Konstrukcja wielokątów foremnych 3, 6, i 12 bocznych
Rys. 1
Wielokąty foremne o liczbie boków 3, 6 i 12.

Kreślenie wielokątów foremnych o liczbie boków 4, 8, i 16 zaczyna się od narysowania linii przechodzącej przez środek okręgu i wyznaczającej punkty A, B na rysunku 2. Dzieląc odcinek AB prostą prostopadłą do jej środka uzyskuje się punkty przecięcia E, F tej prostej z okręgiem. Łącząc punkty A, E, B, F otrzymuje się kwadrat (czworokąt foremny). W celu wyznaczenia wierzchołków ośmiokąta foremnego boki czworokąta foremnego należy podzielić na dwie równe części. Otrzymane w ten sposób dodatkowe punkty należy połączyć z sąsiednimi, otrzymując w ten sposób ośmiokąt foremny. W analogiczny sposób postąpić należy w celu uzyskania szesnastokąta foremnego, z tą tylko różnicą, że dzielone będą boki otrzymanego już ośmiokąta foremnego.

Wielokąty foremne o liczbie boków danej <b>4</b>, <b>8</b> i <b>16</b>.
Rys. 2
Wielokąty foremne o liczbie boków danej 4, 8 i 16.

Rysowanie pięciokąta foremnego należy zacząć od narysowania okręgu i prostej przechodzącej przez środek tego okręgu i wyznaczającej punkty A, B przecięcia tej prostej z okręgiem. Odcinek AB należy podzielić prostą prostopadłą przebiegającą w połowie tego odcinka, otrzymując w ten sposób punkty F, E przecięcia tej prostej z okręgiem. Odcinek AO należy podzielić na dwie równe części, wyznaczając tym samym punkt G, z którego łukiem o promieniu równym odległości zawartej między punktami G, F należy znaleźć punk przecięcia z odcinkiem AB. Odległość dzieląca punkty F, H jest równa długości boków pięciokąta foremnego, które należy odłożyć pięciokrotnie na obwodzie okręgu i połączyć.

Konstrukcja pięciokąta wpisanego w okrąg
Rys. 3
Pięciokąt foremny wpisany w okrąg.

Istnieje również nieco inny sposób kreślenia pięciokąta foremnego, tym razem takiego, którego długość boku jest znana. W tym celu należy wykreślić prostą, na której należy odłożyć długość boku pięciokąta foremnego (jak na rysunku 4). Teraz trzeba podzielić odcinek AB symetralną a tym samym znaleźć punkt H. Następnie z punktu B zakreślić łuk o długości boku wielokąta |AB| i w ten sposób odnaleźć punkt L. Teraz należy utworzyć symetralną odcinka AL w celu odnalezienia punktu K. Z punktu H rozwartością cyrkla równą |HK| zakreślić łuk i odnaleźć punkt Ł. Z punktu A zakreślić łuk o promieniu i odnaleźć punkt C, który stanowi jeden z wierzchołków poszukiwanego pięciokąta. Z punktu C rozwartością cyrkla równą długości |CA| zakreślić łuk, zaś z punktu A zakreślić łuk o promieniu równym długości |AB| tym samym odnajdując punkt E stanowiący kolejny wierzchołek pięciokąta foremnego. Tą samą rozwartością cyrkla co poprzednio z punktu E oraz z punktu C zakreślić łuki i znaleźć ostatni poszukiwany wierzchołek D pięciokąta foremnego. Teraz pozostało już tylko połączyć wierzchołki ABCDE pięciokąta foremnego.

Konstrukcja kreślenia pięciokąta foremnego o znanej długości boku.
Rys. 4
Konstrukcja kreślenia pięciokąta foremnego o znanej długości boku.

Istnieje również dość prosta metoda wykreślenia przybliżonego pięciokąta foremnego, dzięki której można jedną rozwartością cyrkla wyznaczyć przybliżone położenie wierzchołków jego. Konstrukcję ową zaczyna się od wykreślenia odcinka CD o długości a, który będzie stanowił pierwszą krawędź szukanego pięciokąta. Teraz za pomocą cyrkla rozwartością o promieniu a należy zakreślić okręgi z punktu A i B a następnie punkty ich przecięcia G i F połączyć tworząc symetralną k. Z punktu F tą samą rozwartością cyrkla zakreślić łuk i znaleźć tym samym punkty H, I oraz J. Przez punkty H i J oraz I i J należy poprowadzić proste n i m a następnie odnaleźć punkty E i B, które są wierzchołkami szukanego pięciokąta. Teraz z punktów B i E tą samą rozwartością cyrkla co poprzednio zakreślić łuki i znaleźć wierzchołek A pięciokąta.

Konstrukcja przybliżona kreślenia pięciokąta foremnego.
Rys. 5
Konstrukcja przybliżona kreślenia pięciokąta foremnego.

Niestety, nie ma możliwości wykreślenia dokładnego siedmiokąta foremnego, jest jednak możliwość narysowania jego przybliżonej konstrukcji. Rysowanie siedmiokąta foremnego zaczyna się standardowo od narysowania okręgu, w który ten siedmiokąt zostanie wpisany. Należy narysować prostą przechodzącą przez środek okręgu, której punkty A, B przecięcia tej prostej z okręgiem wyznaczają jego średnicę. Odcinek AB należy podzielić na dwie części rysując prostą prostopadłą w środku tego odcinka, następnie korzystając z twierdzenia Talesa należy podzielić odcinek AB na siedem równych części. Jedną z części podziału odcinka AB należy odmierzyć cyrklem, a następnie zakreślić łuk do punktu przecięcia F z punktu B, oraz tą samą wartość odmierzyć z punktu C wyznaczając tym samym punkt M. Punkty F, M należy połączyć, wyznaczając tym samym punkt G przecięcia odcinkiem MF okręgu. Odległość dzieląca punkt G od trzeciej części podziału odcinka AB (licząc od strony punktu B) jest równa długości boku siedmiokąta foremnego wpisanego w okrąg. Wystarczy więc odmierzyć siedmiokrotnie na obwodzie okręgu długość odcinka GE a następnie je połączyć aby uzyskać siedmiokąt foremny.

przybliżona konstrukcja siedmiokąta foremnego
Rys. 6
Siedmiokąt foremny - konstrukcja przybliżona.

Istnieje możliwość wykreślenia dziesięciokąta foremnego w sposób pokazany na poniższym rysunku. Konieczne jest wykreślnie okręgu i poprowadzenie w jego wnętrzu dwóch prostopadłych cięciw AF i . Odcinek należy podzielić symetralną NM znajdując tym samym punkt S2, z którego czym prędzej należy zakreślić okrąg o promieniu równym długości odcinka S2Ł. Połączyć należy punkty AS2 i znaleźć punkt przecięcia K. Długość odcinka AK jest równa długości boku dziesięciokąta foremnego opisanego na okręgu, a więc nie zwlekając ani chwili dłużej należy tę odległość dziesięciokrotnie odłożyć na obwodzie koła, aby po chwili przystąpić do łączenia wierzchołków upragnionego dziesięciokąta foremnego.

dziesięciokąt foremny - konstrukcja kreślenia
Rys. 7
Konstrukcja kreślenia dziesięciokąta foremnego.

Komentarze