Ruch niejednostajny

Stronę tą wyświetlono już: 575 razy

Zadanie 1

Wyznaczyć wzór na położenie tłoka s w funkcji czasu jeżeli wiadomo, że ów tłok jest sprzężony przegubowo z korbowodem o promieniu r=5[cm] wykonującym dwadzieścia obrotów na sekundę.

Rysunek korbowodu i tłoka.
Rys. 1
Rysunek korbowodu i tłoka.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od przeliczenia prędkości korbowodu z obrotów na minutę na radiany na sekundę:

omega=20left[frac{obr.}{s}
ight]=40cdot pileft[frac{rad}{s}
ight]

a następnie określenia położenia kątowego korbowodu w zależności od czasu i prędkości ω:

alpha(t)=omegacdot t+alpha_0

gdzie:

  • α0 - położenie korbowodu w chwili t=0[s].

Położenie tłoka jest zależne od kąta α(t) położenia korbowodu i jest równe:

s(t)=rcdotcosalpha(t)

podstawiając za α(t) wcześniej zapisaną zależność otrzymuje się wzór na położenie tłoka:

s(t)=rcdotcosleft(omegacdot t+alpha_0
ight)

Pozostało już tylko podstawić za r oraz ω do powyższego wzoru zadane wartości:

s(t)=5cdotcosleft(40cdot picdot t+alpha_0
ight)[cm]

Zadanie 2

Znając wzór na przemieszczenie tłoka korbowodu z zadania 1 wyznaczyć wzór na jego prędkość chwilową oraz przyspieszenie chwilowe w zależności od czasu t zakładając, że położenie początkowe α0=0[rad].

Rozwiązanie:

Obliczając pierwszą pochodną przemieszczenia s(t) po czasie otrzymuje się wzór na prędkość:

V(t)=frac{d,s(t)}{dt}=5cdotcosleft(40cdot picdot t
ight)=-5cdot40cdotpicdotsinleft(40cdotpicdot t
ight)=-200cdotpicdotsinleft(40cdotpicdot t
ight)left[frac{cm}{s}
ight]

z kolei obliczając pierwszą pochodną funkcji prędkości po czasie otrzymuje się wzór na przyspieszenie:

a(t)=frac{d,V(t)}{dt}=-8000cdotpicdotcosleft(40cdotpicdot t
ight)left[frac{cm}{s^2}
ight]

Zadanie 3

Pewien obiekt porusza się po linii prostej w czasie od 0 do 2[s] zgodnie z funkcją prędkości:

V(t)=-t^2+2cdot t

Wyznaczyć funkcję położenia tego obiektu s(t) oraz jego przyspieszenia a(t).

Rozwiązanie:

Obliczając całkę z funkcji prędkości V(t) wyznacza się funkcję położenia s(t):

s(t)=int V(t),dt=-frac{1}{3}cdot t^3+t^2+s_0

gdzie:

  • s0 - położenie początkowe w chwili t=0[s] stanowiące stałą całkowania.

Obliczając pochodną funkcji prędkości V(t) otrzymuje się wzór na przyspieszenie:

a(t)=frac{d,V(t)}{dt}=-2cdot t+2

Komentarze