Ruch jednostajnie zmienny

Stronę tą wyświetlono już: 435 razy

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch, w którym prędkość V zmienia się w zadanym przedziale czasu o stałą wartość. W takim przypadku mówi się, że przyspieszenie a obiektu poruszającego się ruchem jednostajnie zmiennym jest stałe (constans). Zależność prędkości od czasu i przyspieszenia a wyraża poniższy wzór:

Wzór zależności funkcji prędkości V(t) od całki z przyspieszenia a w ruchu jednostajnie zmiennym [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=\int a\,dt=\acdot t+V_0

gdzie:

  • V0 - prędkość początkowa obiektu będąca stałą całkowania.

Z kolei zależność drogi od czasu jest dana następującym wzorem:

Wzór opisujący zależność funkcji drogi s(t) od całki podwójnej z przyspieszenia a po czasie [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(t)=\int\int a\,dt=\int \left(a\cdot t+V_0\right)\,dt=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+V_0\cdot t

W tym przypadku, dla drugiej całki stała całkowania jest równa zero, ponieważ wyznaczany jest wzór na drogę a nie położenie.

W ruchu jednostajnie przyspieszonym pole powierzchni zawarte pod wykresem funkcji przyspieszenia a(t) jest równe prędkości chwilowej V(t) jak na rysunku 1.

Zależność przyspieszenia oraz prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.
Rys. 1
Zależność przyspieszenia oraz prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Funkcja prędkości V(t) w przypadku ruchu jednostajnie zmiennego jest funkcją liniową tak jak to widać na rysunku 2 zaś pole powierzchni zawartej pod wykresem owej funkcji określa drogę lub położenie obiektu poruszającego się ruchem jednostajnie zmiennym.

Zależność prędkości oraz drogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.
Rys. 2
Zależność prędkości oraz drogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Funkcja opisująca drogę s(t) jest funkcją kwadratową jak można zobaczyć na rysunku 3.

Zależność drogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.
Rys. 3
Zależność drogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Szczególnym rodzajem ruchu jednostajnie przyspieszonego jest ruch po linii prostej oraz po okręgu. Ten pierwszy rodzaj ruchu jest ważny ze względu na II zasadę dynamiki Newtona, zaś drugi jest warty poświęcenia nieco większej uwagi. Przyspieszenie liniowe a opisuje wzór [6] zapisany w dziale ruch, droga czas, zaś przyspieszenie kątowe będzie opisane przyrostem prędkości kątowej Δω w przedziale czasu Δt:

zależność przyspieszenia kątowego epsilon od przyrostu prędkości kątowej omega i czasu t [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\varepsilon =\frac{\omega_1-\omega_0}{t_1-t_0}=\frac{\Deltaomega}{\Delta t}\left[\frac{rad}{s^2}\right]

Nie będzie wielkim zaskoczeniem gdy napiszę, że istnieje zależność i mafijne powiązanie pomiędzy przyspieszeniem kątowym ε oraz czasem t a prędkością kątową ω:

Wzór opisujący zależność funkcji prędkości kątowej omega(t) od całki z przyspieszenia kątowego epsilon po czasie [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

omega(t)=\int\varepsilon\,dt=\var\epsilon\cdot t\left[\frac{rad}{s}\right]

Przyspieszenie kątowe ε można przeliczyć na przyspieszenie obwodowe a znając promień r, po którym obiekt się obraca:

Wzór na przyspieszenie liniowe obiektu poruszającego się ruchem jednostajnie przyspieszonym obrotowym [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a=\varepsilon\cdot r\left[\frac{m}{s^2}\right]

zaś chwilową prędkość obwodową można obliczyć za pomocą wzoru:

Wzór zależności funkcji prędkości liniowej V(t) od przyspieszenia kątowego epsilon, czasu t i promienia r [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=\varepsilon \cdot t\cdot r\left[\frac{m}{s^2}\right]

Zadania

1 Drogowcy w swej nieskończonej mądrości ustawili dwa znaki (jak na rysunku 4) ograniczające prędkość: pierwszy do 70[km/h] oraz drugi oddalony o niespełna 10[m] od pierwszego ograniczający prędkość do 40[km/h]. Oblicz z jaką ujemną wartością przyspieszenia a (ruch jednostajnie opóźniony) musi poruszać się samochód aby na tak krótkim odcinku drogi zmniejszyć prędkość o te nieszczęsne 30[km/h]. Wyznacz czas w jakim pojazd pokona ów odcinek trasy.

Zdjęcie kunsztu w planowaniu rozmieszczenia znaków drogowych w wykonaniu polskich jakże niesłusznie niedocenianych drogowców.
Rys. 4
Zdjęcie kunsztu w planowaniu rozmieszczenia znaków drogowych w wykonaniu polskich jakże niesłusznie niedocenianych drogowców.

Rozwiązanie:

Przeliczyć należy prędkości V1, V2 z kilometrów na godzinę na metry na sekundę w następujący sposób:

V_0=70left[frac{km}{h}
ight]=19frac{4}{9}left[frac{m}{s}
ight]

V_1=40left[frac{km}{h}
ight]=11frac{1}{9}left[frac{m}{s}
ight]

Skorzystać należy z wzoru na drogę s w ruchu jednostajnie zmiennym:

s=V_0cdot t+frac{1}{2}cdot acdot t^2

w którym występują dwie niewiadome: a, t, jednakże za a można podstawić wzór [6] zapisany w dziale ruch, droga, czas pozostawiając jedynie niewiadomą t:

s=V_0cdot t+frac{1}{2}cdot frac{V_1-V_0}{t}cdot t^2=V_0cdot t+frac{1}{2}cdotleft(V_1-V_0
ight)cdot tRightarrow t=frac{s}{V_0+frac{1}{2}cdotleft(V_1-V_0
ight)}=frac{36}{55}[s]

Znany już jest czas (około 0.65 sekundy) pozostało obliczenie opóźnienia a:

a=frac{V_1-V_0}{t}=frac{11frac{1}{9}-19frac{4}{9}}{frac{36}{55}}=-12frac{79}{108}left[frac{m}{s^2}
ight]

Gdyby przeliczyć obliczone opóźnienie na kilometry na godzinę na sekundę okazało by się, że samochód musiałby w ciągu jednej sekundy zwalniać o około 46[km/h]. Dla przykładu Diablo GTR przyspiesza od 0 do 100[km/h] w 3,7[s] co oznacza że w ciągu jednej sekundy prędkość tego pojazdu zwiększa się o około 27[km/h]. Niestety nie są mi znane dane techniczne na temat opóźnienia, jakie uzyskuje ów pojazd podczas hamowania.

2 Obliczyć przyspieszenie i czas wylotu kuli wystrzelonej z karabinu o długości lufy l=64[cm] jeżeli pocisk u wylotu osiągną prędkość V=896[m/s] oraz przyjmując, że ruch kuli w lufie karabinu jest jednostajnie przyspieszony.

Rozwiązanie:

Długość lufy należy przeliczyć na metry: L=0.064[m]. Stosując po raz kolejny wzór [2] oraz [6] zapisany w dziale ruch, droga, czas otrzymuje się wzór na drogę:

s=frac{1}{2}cdot acdot t^2=frac{1}{2}cdot frac{V}{t}cdot t^2=frac{1}{2}cdot Vcdot t

po którego przekształceniu można wyznaczyć szukany czas t przelotu pocisku przez lufę karabinu:

t=frac{2cdot s}{V}=frac{2cdot 0.064}{896}=frac{1}{7000}[s]

Przyspieszenie a pocisku jest więc równe:

a=frac{V}{t}=6272000left[frac{m}{s^2}
ight]

3 Koło samochodu o promieniu r=15[cm] obraca się z jednostajnym przyspieszeniem kątowym ε=200[rad/s2]. Obliczyć przyspieszenie samochodu oraz drogę jaką przebył w trakcie przyspieszania trwającego odstęp czasu t=10[s] wiedząc, że prędkość początkowa pojazdu jest równa zero.

Rozwiązanie:

Przyspieszenie samochodu obliczyć należy za pomocą wzoru [5]:

a=varepsiloncdot r=200cdot0.015=3left[frac{m}{s^2}
ight]

zaś drogę za pomocą wzoru [2]:

s=frac{1}{2}cdot acdot t^2=frac{1}{2}cdot 3cdot 10^2=150[m]

Komentarze