Ruch jednostajny

Stronę tą wyświetlono już: 456 razy

Ruch jednostajny w którym prędkość jest stała V=const (const ang. stała). Drogę s przebytą przez ciało poruszające się ruchem jednostajnym określa poniższy wzór:

Wzór zależności drogi s(t) od prędkości V [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(t)=\int V\,dt=V\cdot t [m]

Oczywiście zależność prędkości od czasu i przebytej drogi w ruchu jednostajnym można uzyskać przekształcając wzór [1] do następującej postaci:

Wzór zależności prędkości V(t) od przebytej drogi s i czasu t [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=\frac{s}{t}\left[\frac{m}{s}\right]

Funkcja s(t) dla ruchu jednostajnego jest funkcją liniową, co wynika z rysunku 1.

Interpretacja graficzna zależności drogi <b>s(t)</b> od czasu <b>t</b> w ruchu jednostajnym prostoliniowym.
Rys. 1
Interpretacja graficzna zależności drogi s(t) od czasu t w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

Pole powierzchni zawartej pod wykresem funkcji V(t) dla ruchu jednostajnego jest równe polu powierzchni prostokąta, którego boki mają wymiary V(t)×t jak na rysunku 2.

Interpretacja graficzna zależności prędkości <b>V(t)</b> od czasu <b>t</b>.
Rys. 2
Interpretacja graficzna zależności prędkości V(t) od czasu t.

W ruchu jednostajnym stosunek przemieszczenia do jednostki czasu, w której owo przemieszczenie zostało zrealizowane musi być stałe, albowiem w przeciwnym przypadku mamy do czynienia z ruchem nie jednostajnym. Innymi słowy, jeżeli dla zadanych przedziałów czasów t1, t2, t3 znane są wartości przebytej w owym czasie drogi s1, s2, s3 to jeżeli spełniona jest następująca równość:

V=frac{s_1}{t_1}=frac{s_2}{t_2}=frac{s_3}{t_3}

wtedy to prędkość V poruszającego się obiektu jest stała.

Szczególnym rodzajem ruchu jednostajnego jest ruch po linii prostej oraz ruch po okręgu. Pierwszy rodzaj ruchu jest ważny przez wzgląd na I zasadę dynamiki Newtona, jednakże nie będę się tutaj rozpisywał o tym ze względu na fakt, że temat ten dotyczy dynamiki a nie kinematyki. W przypadku drugiego rodzaju ruchu konieczne jest jego zapisanie w postaci prędkości kątowej ω, której wartość jest równa stosunkowi kąta α wyrażonego najczęściej w radianach do przedziału czasu Δt, w którym owe przemieszczenie kątowe nastąpiło. Wzór na jednostajną prędkość kątową obiektu jest więc następujący:

Zależność prędkości kątowej omega od zmiany kąta alfa i czasu w ruchu obrotowym jednostajnym [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\omega=\frac{\alpha}{\Delta t}\left[\frac{rad}{s}\right]

Możliwe jest obliczenie liniowej prędkości obwodowej obiektu poruszającego się po okręgu jednakże w tym celu konieczna jest znajomość promienia r, po którym ów obiekt się obraca. Prędkość obwodowa jest więc dana następującą zależnością:

Zależność prędkości liniowej od prędkości kątowej i promienia w ruchu jednostajnym obrotowym [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\omega\cdot r\left[frac{m}{s}\right]

Droga przebyta przez ciało poruszające się ruchem jednostajnym po okręgu może zostać obliczona poprzez podstawienie do wzoru [1] za V wartości z wzoru [4] otrzymując tym samym następujący wzór:

zależność funkcji drogi s(t) od prędkości kątowej omega, promienia r i czasu t w ruchu obrotowym jednostajnym [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

s(t)=omega\cdot r\cdot t\,[m]

Zadania

1 W ciągu godziny Gienek przejechał 15 kilometrów. Obliczyć prędkość z jaką poruszał się Gienek jeżeli wiadomo że jego ruch był jednostajny.

Rozwiązanie:

Należy zastosować wzór [2] w celu obliczenia prędkości.

V=frac{s}{Delta t}=frac{15}{1}=15left[frac{km}{h}
ight]=4frac{1}{6}left[frac{m}{s}
ight]

2 Obliczyć prędkość kątową ω kół roweru Gienka bazując na obliczeniach wykonanych w zadaniu 1 oraz wiedząc, że średnica kół roweru Gienka jest równa 21 cali.

Rozwiązanie:

Koniecznie należy przeliczyć cale na metry:

D=21''=21cdot 2.54cdot 0.01,[m]=0.5334,[m]

Przekształcając wzór [4] można obliczyć prędkość kątową ω, należy jednak pamiętać że w wzorze występuje promień r który z kolei jest równy połowie danej w zadaniu średnicy koła roweru D.

omega=frac{V}{r}=frac{V}{frac{D}{2}}=frac{2cdot V}{D}=frac{2cdot4frac{1}{6}}{0.5334}=16.247969,left[frac{rad}{s}
ight]

3 Obliczyć prędkość kątową ωp pedałów roweru Gienka bazując na danych z zadania 2 i wiedząc że stosunek przełożenia prędkości z zębatki sprzężonej z pedałami roweru do zębatki sprzężonej z tylnym kołem jest równe 1:3 co oznacza że na jeden pełny obrót pedałami roweru przypadają trzy obroty tylnego koła.

Rozwiązanie:

Prędkość kątowa pedałów roweru jest równa jednej trzeciej prędkości kątowej koła tylnego, a więc:

omega_2=frac{1}{3}cdotomega=5.416,left[frac{rad}{s}
ight]

4 Z Zadupia Małego do Zadupia Dużego wyjeżdża pociąg pośpieszny z stałą prędkością V1=100[km/h] w tym samym czasie z Zadupia Dużego do Zadupia Małego wyrusza pociąg osobowy z stałą prędkością V2=80[km/h]. Ponieważ ktoś zrobił rozkład jazdy po pijaku i nasze pociągi jadą teraz jednym torem w związku z czym dojdzie do kolizji. Oblicz: w jakiej odległości od Zadupia Małego dojdzie do kolizji pociągów oraz określ przedział czasu od momentu wyruszenia pociągów ze stacji kolejowych do momentu ich kolizji. Odcinek trasy łączący Zadupie Małe i Zadupie Duże sfinansowany ze środków Unii Jełopejskiej liczy sobie 60[km].

W zadaniu należy pominąć czas potrzebny na rozpędzenie pociągów.

Rozwiązanie:

Zdaję sobie sprawę, że są ludzie którym tego typu zadania spędzają sen z powiek jednakże nie takie zadanie straszne jak uczniowie mówią. Droga s1 jaką przebędzie pociąg wyruszający z Zadupia Małego jest równa:

s_1=V_1cdot Detla t

zaś droga s2 przebyta przez pociąg wyruszający z Zadupia Dużego:

s_2=V_2cdot Detla t

oczywistym jest fakt, że suma s1+s2 musi być równa długości trasy łączącej nasze miejscowości. Tak więc można napisać następującą równość:

s=s_1+s_2=V_1cdotDelta t+V_2cdotDelta t

przekształcając powyższe równanie otrzymuje się wzór na przedział czasu Δt, po którym nastąpi kolizja pociągów:

Delta t=frac{s}{V_1+V_2}=frac{60}{100+80}[h]=frac{1}{3}[h]

Pozostało jedynie obliczenie w jakiej odległości od Zadupia Małego dojdzie do kolizji, ale na to jest już wzór:

s_1=V_1cdot Delta t=100cdotfrac{1}{3}=33frac{1}{3}[km]

5 Gienek pojechał samochodem z rodziną nad jezioro, połowę trasy przebył z prędkością V1=120[km/h] zaś drugą połowę z prędkością V2=80[km/h]. Obliczyć średnią prędkość, z jaką Gienek jechał.

Rozwiązanie:

Najsamprzód określić trzeba czas przejazdu dla prędkości V1:

t_1=frac{frac{s}{2}}{V_1}=frac{s}{2cdot V_1},[h]

oraz dla prędkości V2:

t_2=frac{frac{s}{2}}{V_2}=frac{s}{2cdot V_2},[h]

Prędkość średnia Vśr jest więc równa:

V_{sr}=frac{s}{t_1+t_2}=frac{s}{frac{s}{2cdot V_1}+frac{s}{2cdot V_2}}=frac{1}{frac{V_1+V_2}{2cdot V_1cdot V_2}}=frac{2cdot V_1cdot V_2}{V_1+V_2}=frac{2cdot 120cdot 80}{120+80}=96left[frac{km}{h}
ight]

6 W drodze powrotnej znad jeziora Gienek połowę czasu przejechał z prędkością V1=80[km/h] zaś drugą połowę czasu z prędkością V2=120[km/h]. Obliczyć średnią prędkość z jaką Gienek wracał do domu.

Rozwiązanie:

Zacząć należy od określenia drogi s1 przebytej z prędkością V1 w następujący sposób:

s_1=V_1cdotfrac{t}{2}

oraz z prędkością V2:

s_2=V_2cdotfrac{t}{2}

Prędkość średnią można obliczyć w następujący sposób:

V_{sr}=frac{s_1+s_2}{t}=frac{V_1cdotfrac{t}{2}+V_2cdotfrac{t}{2}}{t}=frac{V_1+V_2}{2}=frac{120+80}{2}=100left[frac{km}{h}
ight]

7 Równoległymi torami jadą dwa pociągi: pierwszy z prędkością V1=70[km/h] oraz drugi z prędkością V2=100[km/h]. Obliczyć prędkość pociągu drugiego względem pierwszego.

Rozwiązanie:

Pociąg pierwszy porusza się względem drugiego z prędkością równą V2-V1=30[km/h]..

8 Przez trzydziesto metrowej długości most przejeżdża ciężarówka z prędkością V=36[km/h]. Obliczyć jej długość wiedząc że od momentu gdy przód ciężarówki zrównał się z początkiem mostu do chwili gdy koniec ciężarówki zrównał się z końcem mostu upłynęły 4[s].

Rozwiązanie:

Dystans jaki pokonała ciężarówka jest równy sumie długości mostu lm oraz ciężarówki lc. Znając prędkość i czas można tą samą odległość wyznaczyć za pomocą wzoru [1], w związku z czym prawdziwa jest równość:

l_m+l_c=Vcdot t

Prędkość V należy wyrazić w metrach na sekundę:

V=36left[frac{km}{h}
ight]=10left[frac{m}{s}
ight]

Przekształcając wcześniejsze równanie uzyskuje się wzór na długość ciężarówki:

l_c=Vcdot t-l_m=10cdot 4-30=10[m]

Komentarze