Elipsa

Stronę tą wyświetlono już: 90 razy

Podstawowa definicja i oznaczenia

A niechaj będą dane dwa punkty F1 i F2 takie, że F1F2, które są ogniskami elipsy i dwie dodatnie liczby rzeczywiste a i b, które z kolei opisują wartości promieni tejże elipsy, to w takim przypadku zbiór wszystkich punktów, których suma odległości od ognisk elipsy F1 i F2 jest stała i wynosi 2· a, gdzie z kolei 2·a > |F1F2|=2· c > 0.

Elipsa - podstawowe oznaczenia
Rys. 1
Ilustracja elipsy wraz z podstawowymi oznaczeniami:
  • S - środek ciężkości elipsy;
  • A1, A2, B1, B2 - punkty charakterystyczne elipsy, wyznaczające największą 2·a i najmniejszą 2·b jej średnicę;
  • a - promień maksymalny elipsy;
  • b - promień minimalny elipsy;
  • F1, F2 - ogniskowe elipsy;
  • R1, R2 - promienie wodzące punktu P;
  • P - punkt na obwodzie elipsy;
  • P1 - rzut punktu P na prowadnicę k1;
  • k, l - osie symetrii elipsy;
  • k1, k2 - prowadnice elipsy

Patrząc na powyższą ilustrację i stosując się do definicji elipsy należy stwierdzić niezbicie, że dla dowolnie obranego punktu P znajdującego się na obwodzie elipsy można zapisać następującą równość:

Wzór na sumę promieni elipsy [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_1+R_2=2\cdot a

Odległość c ogniskowych F1 i F2 od środka ciężkości S elipsy można wyznaczyć wykorzystując następujący wzór:

Wzór na odległość ogniskowych elipsy od jej środka [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

c=\sqrt{a^2-b^2}

Elipsę charakteryzuje również pewna wartość e nazywana mimośrodem elipsy, która jest równa:

Wzór na mimośród elipsy [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

e=\frac{c}{a}<1

Dla każdego punktu P elipsy spełniona jest następująca równość powiązana z mimośrodem e:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{|PF_1|}{|P,\,k_1|}=\frac{|PF_1|}{|P,\,k_2|}=e

gdzie:

  • |P, k1| - odległość punktu P od prowadnicy k1;
  • |P, k2| - odległość punktu P od prowadnicy k2;

Odległość położenia prowadnic k1, k2 na osi symetrii symetrii k od środka ciężkości S można obliczyć z następującej zależności:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=\frac{a^2}{c}

Równanie elipsy

Dla elipsy, której środek ciężkości S znajduje się w początku układu współrzędnych równanie będzie przyjmowało następującą postać

równanie elipsy o środku w początku układu współrzędnych [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

gdzie a > 0 i b > 0.

Natomiast dla elipsy, dla której środek ciężkości S = {xs, ys} równanie to przyjmuje postać następującą:

równanie elipsy o środku w dowolnym punkcie S [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{(x-x_s)^2}{a^2}+\frac{(y-y_s)^2}{b^2}=1

Równania parametryczne elipsy dla parametru t, takiego że ) ≤ t ≤ 2 · π:

Równanie parametryczne elipsy [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x = a\cdot\cos t \\ y = b\cdot\sin t \end{cases}

W układzie współrzędnych biegunowych, równanie elipsy wygląda następująco:

Równanie w układzie współrzędnych biegunowych [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{b^2}{1 - e^2 \cdot\cos^2 \theta}=r^2

Elipsa jako szczególny przypadek hipocykloidy

Istnieje szczególny przypadek Hipocykloid, które są w stanie wykreślić krzywe eliptyczne co zostało pokazane na poniższej animacji. Więcej informacji na temat tego typu krzywych można zobaczyć na stronie Matematyka → Geometria → Hipocykloidy.

Hipocykloida o stosunku Ro do Rw równym 1/2 o promieniach rysowania 1,5·Ro i 0,5·Ro
Rys. 3
Hipocykloida o stosunku Ro do Rw równym 1/2 o promieniach rysowania 1,5·Ro i 0,5·Ro.

Klatki do powyższej animacji zostały wykonane w programie wxMaxima, natomiast poskładane zostały w programie Gimp

Konstrukcje kreślenia elips

Na stronie Geometria wykreślna → Podstawowe konstrukcje → Kreślenie elips zostały pokazane i omówione dość szczegółowo najczęściej stosowane konstrukcje umożliwiające przybliżone kreślenie krzywych eliptycznych. Same ilustracje tychże metod zostały zamieszczone na poniższym rysunku.

a)Elipsa wykreślona na siatce z <b>rysunku 42</b>.b)Konstrukcja kreślenia elipsy za pomocą jej średnic.
Rys. 4
Konstrukcje kreślenia elips: a) poprzez wpisanie w prostokąt; b) poprzez użycie dwóch okregów.

Kreślenie elipsy za pomocą dwóch szpilek, sznurka i ołówka

Na poniższej ilustracji punkty F1 i F2 stanowią miejsce wbicia szpilek, do których należy przywiązać sznurek. Ten z kolei będzie ograniczał ruch ołówka co umożliwi wykreślenie przybliżonej elipsy.

Kreślenie elipsy za pomocą dwóch szpilek, sznurka i ołówka
Rys. 5
Ilustracja pokazująca sposób kreślenia elipsy za pomocą dwóch szpilek, sznurka i ołówka.
Źródło:
Ilustracja dostępna w Wikimedia Commons na licencji CC 4.0

Kreślenie elipsy za pomocą elipsografu

Elipsograf to dość zmyślny przyrząd wykorzystujący parę suwadeł i cięgno do kreślenia elipsy bez konieczności. Zasada działania takiego przyrządu pokazana została na poniższej animacji.

Animacja pokazująca zasadę działania elipsografu
Rys. 6
Animacja pokazująca zasadę działania elipsografu
Źródło:
Animacja zaczerpnięta z strony Wkipedii, gdzie dostępna jest na licencji CC 0.0

Pole powierzchni i obwód elipsy

Pole powierzchni elipsy można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Wzór na pole powierzchni elipsy [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P=\pi\cdot a\cdot b

Przybliżony obwód elipsy można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Przybliżony wzór na obwód elipsy [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L\approx\pi \left({{3 \over 2}(a+b)-\sqrt{ab}}\right)

Dokładny wzór:

Wzór na obwód elipsy [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L = 4\cdot a\cdot E(e^2) = 4\cdot a\cdot E\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right) = 4\cdot a\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-e^2\cdot \sin^2\theta} \ d\theta = 4\cdot a\int_0^1 \frac{\sqrt{1-e^2\cdot t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\ dt

gdzie:

  • E - to zupełna całka eliptyczna drugiego rodzaju;
  • e - mimośród elipsy

Równanie stycznej do elipsy

Gdy elipsa ma środek ciężkości w początku układu współrzędnych, to równanie prostej stycznej do punktu P0 = {x0, y0} to równanie przyjmuje następującą postać:

Równanie prostej stycznej do elipsy w danym punkcie Ps [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{x_0}{a^2}\cdot x+\frac{y_0}{b^2}\cdot y=1

W przypadku, gdy środek ciężkości elipsy nie znajduje się w początku układu współrzędnych równanie stycznej przyjmuje postać:

Równanie prostej stycznej do elipsy w danym punkcie Ps [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{(x_0-x_s)\cdot (x-x_s)}{a^2}+\frac{(y_0-y_s)\cdot (y-y_s)}{b^2}=1

Właściwości stycznych do elipsy

Każda styczna do elipsy stanowi dwusieczną kąta zewnętrznego (co pokazano na poniższej ilustracji).

Styczna jako dwusieczna kąta zewnętrznego
Rys. 7
Styczna jako dwusieczna kąta zewnętrznego

Jeżeli dane są dwie styczne do punktów P1 i P2 elipsy oraz punkt przecięcia P3 tychże stycznych, to kąt zawarty pomiędzy jedną z ogniskowych a punktem P1 i P3 oraz P2 i P3 są sobie równe, co zostało pokazane na poniższej ilustracji.

Kąty pomiędzy punktem przecięcia a punktami styczności i punktem ogniskowej elipsy
Rys. 8
Kąty pomiędzy punktem przecięcia a punktami styczności i punktem ogniskowej elipsy

Komentarze