Efekt Doplera

Stronę tą wyświetlono już: 147 razy

Najprostszy przypadek efektu Dopplera

Każdy z nas kiedyś słyszał, jak przejeżdżająca na sygnale karetka czy też radiowóz policyjny zmienia natężenie dźwięku w trakcie mijania. Zjawisko to jako pierwszy zauważył Christian Andreas Doppler. W zrozumieniu tego zjawiska może pomóc poniższa ilustracja, pokazująca jak fala akustyczna generowana przez poruszające się źródło dźwięku rozchodzi się w nieruchomym ośrodku.

Graficzna dwuwymiarowa interpretacja rozchodzenia się fali akustycznej generowanej przez poruszający się obiekt z prędkością mniejszą od prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku, w którym ten się przemieszcza
Rys. 1
Graficzna dwuwymiarowa interpretacja rozchodzenia się fali akustycznej generowanej przez poruszający się obiekt z prędkością mniejszą od prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku, w którym ten się przemieszcza
Źródło:
Wikimedia Commons - grafika svg dostępna w Domenie Publicznej

Na podstawie powyższej ilustracji można stwierdzić jednoznacznie, że obiekt, który wygenerował pokazane na niej fale akustyczne poruszał się w prawo. Znając skalę związaną z tą grafiką oraz prędkość rozchodzenia się dźwięku w ośrodku, dla którego została ona wygenerowana można by było określić również prędkość tego obiektu. Jednakże, aby wyjaśnić dlaczego jest to możliwe trzeba najpierw rozpatrzyć najprostszy z możliwych przypadków i ustawić obserwatora na linii ruch obiektu.

Rozpatrywany najprostszy przypadek zmiany odległości pomiędzy obserwatorem a źródłem dźwięku
Rys. 2
Rozpatrywany najprostszy przypadek zmiany odległości pomiędzy obserwatorem O a źródłem dźwięku Z, gdzie Vz jest wektorem prędkości źródła dźwięku.

Długość fali, jaką będzie odbierał obserwator O, gdy źródło będzie się zbliżało do niego ulegnie skróceniu o odległość równą:

wartość skrócenia długości fali akustycznej [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l=V_z\cdot T

co oznacza, że długość fali akustycznej odbieranej przez obserwatora wynosi:

Długość fali akustycznej odbieranej przez obserwatora O [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lambda_O=\lambda_z-V_z\cdot T

Częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora O można więc wyliczyć w następujący sposób:

Częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora O [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f_O=\frac{V}{\lambda_O}=\frac{V}{\lambda_z-V_z\cdot T}

gdzie:

  • λZ - długość fali akustycznej związanej z przemieszczającym się obiektem;
  • λO - długość fali akustycznej odbieranej przez obserwatora O;
  • fO - częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora O;
  • V - prędkość rozprzestrzeniania się dźwięku w danym ośrodku;
  • VZ - prędkość przemieszczania się źródła dźwięku;
  • T - okres fali akustycznej.

Długość fali akustycznej λZ można zastąpić następującą zależnością:

zależność długości fali akustycznej od jej prędkości i częstotliwości [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\lambda_z=\frac{V}{f_Z}

gdzie:

  • λZ - długość fali akustycznej związanej z poruszającym się źródłem;
  • V - prędkość dźwięku w danym ośrodku;
  • fZ - częstotliwość dźwięku związana z jego źródłem.

Okres T z kolei można zastąpić następującą zależnością:

okresu T od częstotliwości dźwięku [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

T=\frac{1}{f_Z}

Podstawiając zależności [4] i [5] do [3] otrzymuje się następującą zależność:

Wzór na częstotliwość odbieraną przez nieruchomego obserwatora stojącego na linii ruch obiektu [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f_O=\frac{V\cdot f_Z}{V-V_Z}

Gdy obserwator O stoi idealnie na linii ruchu źródła dźwięku to powyższy wzór jest prawdziwy a jego liniowa natura każe stwierdzić, że najniższą częstotliwość dźwięku jaką można odczytać z rysunku 1 wyznacza również kierunek ruchu obiektu.

Przypadek trudniejszy efektu Dopplera

Chyba nikogo nie muszę przekonywać, że stanie na drodze źródła dźwięku jakim jest przejeżdżająca karetka nie jest najszczęśliwszym pomysłem. W związku z czym praktycznie zawsze obserwator nie stoi na drodze źródła dźwięku a w pewnej odległości od prostej, po której to źródło się porusza (tak jak to pokazane zostało na poniższej ilustracji).

Przypadek nieco bardziej złożony efektu Dopplera
Rys. 3
Przypadek nieco bardziej złożony efektu Dopplera

Na powyższej ilustracji obserwatora O umieściłem w środku układu współrzędnych, natomiast w pewnej chwili t0 = 0 poruszające się źródło dźwięku Z znajduje się w punkcie PZ. Prędkość VZ źródła Z jest wielkością wektorową. Teraz można określić zależność zmiany położenia źródła Z po czasie t:

Zmiana położenia źródła dźwięku w zależności od czasu [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{P(t)}=\vec{V}\cdot t+\vec{P_0}

Długość wektora P(t) wyznacza odległość l(t) pomiędzy obserwatorem O a źródłem Z, czyli:

Zmiana odległości obserwator - źródło [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l(t)=\left|\vec{P(t)}\right|=\left|\vec{V}\cdot t+\vec{P_0}\right|=\sqrt{(V_x\cdot t+P_{0x})^2+(V_y\cdot t+P_{0y})^2}

Pochodna l(t) po czasie t to nic innego jak prędkość zmiany odległości obserwator O - źródło Z, a więc:

Zmiana odległości obserwator - źródło [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_Z(t)=\frac{d\,l(t)}{dt}=\frac{2\cdot V_y\cdot\left( t\cdot V_y+P_{0y}\right) +2\cdot V_x\cdot\left( t\cdot V_x+P_{0x}\right) }{2\cdot\sqrt{{\left( t\cdot V_y+P_{0y}\right) }^{2}+{\left( t\cdot V_x+P_{0x}\right) }^{2}}}

W powyższym wzorze VZ(t) jest to prędkość zbliżania się źródła Z do obserwatora O zmieniająca się w czasie.

Zakładając pewne przykładowe wartości:

V_Z=begin{bmatrix} -10 \ 0end{bmatrix} left[frac{m}{s}right];, P_0=begin{bmatrix} 10 \ 5end{bmatrix}[m];,f_z=60[Hz];V=100left[frac{m}{s}right]

Wzór VZ(t) po podstawieniu wyżej wymienionych wartości upraszcza się do postaci:

Zmiana prędkości zbliżania się obserwator - źródło [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V(t)=-\frac{10\cdot\left(10-10\cdot t\right)}{\sqrt{{\left( 10-10\cdot t\right)}^{2}+25}}

Wykres powyższej funkcji z znakiem przeciwnym pokazany został na poniższym wykresie.

Zmiana prędkości zbliżania się źródła do obserwatoraVz(t) [m/s]Vz(t) [m/s]t [s]-9-6-30369-10-8-6-4-20246810VZ (t) = 10 · (10 - 10 · t)/(sqrt((10-10 · t)2 +25)) [m/s]
Rys. 4
Zmiana prędkości zbliżania się źródła do obserwatora
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Funkcja opisująca zmianę odległości l(t) wygląda następująco:

Zmiana odległości obserwator - źródło [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

l(t)=\sqrt{{\left( -10\cdot t+10\right) }^{2}+25}

Natomiast jej wykres pokazany został na poniższej ilustracji.

Zmiana odległości źródła do obserwatora po czasiel [s]l [s]t [s]20406080100-10-8-6-4-20246810l(t) = sqrt((-10 · t + 10)2 + 25) [m]
Rys. 5
Zmiana odległości źródła do obserwatora po czasie
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Warto podstawić wzór [8] do wzoru [6] by uzyskać zależność zmiany częstotliwości fO(t). Pamiętać należy jednak, że wzór [8] zwraca prędkość ujemną gdy obiekt się zbliża natomiast w wzorze [6] powinno się podstawiać w takim przypadku wartość dodatnią prędkości z czego wynika, że trzeba zmienić znak w wzorze [8] na przeciwny, by uzyskać po odpowiednim uproszczeniu taki oto wzór:

Zmiana częstotliwości po czasie [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\mathrm{f_o}\left( t\right) =\frac{60\cdot\sqrt{100\cdot{t}^{2}-200\cdot t+125}}{\sqrt{100\cdot {t}^{2}-200\cdot t+125}+t-1}

Zmiana częstotliwościfo(t) [Hz]fo(t) [Hz]t [s]565860626466-10-8-6-4-20246810fo (t)[Hz]
Rys. 6
Zmiana częstotliwości fo(t) dźwięku odbieranego przez obserwatora O
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Komentarze