Bryły obrotowe ograniczone funkcją r(z)

Stronę tą wyświetlono już: 190 razy

Ogólna definicja brył obrotowych

Każda bryła, której wszystkie punkty znajdują się w odległości od pewnej osi nie większej niż pewna dana funkcja r(z) jest bryłą obrotową, gdzie z określa położenie na osi obrotu, zaś r(z) funkcję promienia płaszczyzny dla danego położenia z.

Przykład bryły obrotowej ograniczonej funkcją r(z)
Rys. 1
Przykład bryły obrotowej ograniczonej funkcją r(z)

Z powyższego wynika, że musi być spełniona następująca nierówność dla bryły obrotowej, przy założeniu, że osią jest oś z układu współrzędnych kartezjańskich, której maksymalny promień r opisuje funkcja r(z).

Nierówność opisująca dowolną bryłę obrotową ograniczoną pewną funkcją r(z) [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x^2+y^2=\Big[r(z)\Big]^2

Wzór [1] dla walca

Jako że walec jest również bryłą obrotową, dla której funkcja r(z) jest równa promieniowi podstawy R tegoż walca, tak więc walec opisuje następująca nierówność:

Nierówność opisująca walec [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x^2+y^2=R^2

Wzór [1] dla stożka

Także i stożek jest bryłą obrotową, dla której funkcja r(z) jest równa:

Nierówność opisująca walec [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r_w(z)=\frac{R}{h}\cdot z

gdzie:

  • R - promień podstawy stożka;
  • h - wysokość stożka.

Nierówności opisujące stożek będzie więc miała postać następującą:

Nierówności opisujące stożek prosty (obrotowy) w kartezjańskim układzie współrzędnych [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} {x^2 +y^2 \le \left(\cfrac{z\cdot R}{h}\right)^2}\\ {0\le z\le h}\end{cases}

gdzie:

  • promień r > 0;
  • wysokość h > 0.

Wzór [1] dla kuli

Nie będzie wielkim zaskoczeniem, gdy napiszę, że kula jest bryłą obrotową, dla której funkcja r(z) jest równa:

Równanie promienia kuli [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r_w(z)=\sqrt{R^2-z^2}

gdzie:

  • R - promień kuli;

Nierówności opisujące walec będzie więc miała postać następującą:

Nierówności opisujące kulę w kartezjańskim układzie współrzędnych [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x^2 +y^2 \le R^2-z^2 \\ -R\le z\le R \end{cases}

gdzie:

  • promień r > 0;
  • wysokość h > 0.

Ogólny wzór na objętość dowolnej bryły obrotowej ograniczonej funkcją r(z)

Objętość bryły obrotowej jest równa całce iloczynu pola powierzchni okręgu o promieniu danym funkcją r(z) i jej elementarnej wysokości dz.

Interpretacja graficzna wzoru na objętość bryły obrotowej
Rys. 2
Interpretacja graficzna wzoru na objętość bryły obrotowej

Oznaczenia:

  • z - położenie przekroju bryły;
  • dz - elementarna wysokość przekroju;
  • dv - elementarna objętość, która jest równa π·r(z)2·dx;
  • r(z) - funkcja promienia r przekroju i jego położenia na osi z.
Ogólny wzór na objętość dowolnej bryły obrotowej ograniczonej funkcją r(z) [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\pi\cdot\int_{z_1}^{z_2}\Big[r(z)\Big]^2\, dz

Przykład zastosowanie wzoru [7] dla walca

Wyznaczenie wzoru na objętość walca będzie banalnie proste:

Wyznaczenie wzoru na objętość walca za pomocą wzoru [7] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_w=\pi\cdot\int_{0}^{h}r(z)\, dz=\pi\cdot\int_{0}^{h}R^2\, dz=\pi\cdot R^2\cdot h

Przykład zastosowanie wzoru [7] dla stożka

Wyznaczenie wzoru na objętość stożka będzie równie banalnie proste co walca:

Wyznaczenie wzoru na objętość stożka za pomocą wzoru [7] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_s=\pi\cdot\int_{0}^{h}r(z)\, dz=\pi\cdot\int_{0}^{h}\left(\frac{R\cdot z}{h}\right)^2\, dz=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot R^2\cdot h

Przykład zastosowanie wzoru [7] dla kuli

Wyznaczenie wzoru na objętość kuli:

Wyznaczenie wzoru na objętość kuli za pomocą wzoru [7] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_k=\pi\cdot\int_{-R}^{R}r(z)\, dz=\pi\cdot\int_{-R}^{R}\left(R^2-z^2\right)\, dz=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3

Komentarze