Kule, sfery i ich pochodne

Stronę tą wyświetlono już: 816 razy

Definicje kuli i sfery

Kula jest to zbiór punktów, które zawierają się na i pod płaszczyzną sferyczną, która z kolei jest równo odległa o pewną wartość R od pewnego dowolnie obranego w przestrzeni o wymiarze co najmniej 3W punktu P.

Kula jest to bryła obrotowa, powstała w wyniku obrotu półokroła względem osi przechodzącej przez jego cięciwę o długości 2·R. Promień tego półokręgu jest równocześnie promieniem sferycznej powierzchni kuli.

Sfera to zbiór punktów równo odległych o pewną wartość R od pewnego dowolnie obranego punktu o wymiarze co najmniej 3W

Ilustracja kuli i sfery
Rys. 1
Kula oraz jej powierzchnia sferyczna i jej oznaczenia:
  • R - promień sfery";
  • S - środek sfery

Nierówności opisujące kulę

W kartezjańskim układzie współrzędnych kulę opisuje następująca nierówność:

Nierówność opisująca kulę [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\leqslant R^2

Gdzie:

  • x0, y0, z0 - współrzędne środka kuli;
  • x, y, z - współrzędne punktu rozpatrywanego w nierówności;
  • r - promień kuli.

W współrzędnych sferycznych:

Układ nierówności opisujących kulę w współrzędnych sferycznych [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}0\leq \varphi \leq 2\cdot\pi \\ 0\leq \theta\leq \pi \\ 0\leq r\leq R\end{cases}

Równania i nierówności opisujące sferę

W kartezjańskim układzie współrzędnych sferę można a czasem nawet i trzeba opisać następującą równością:

Układ nierówności opisujących kulę w współrzędnych sferycznych [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2= R^2

W układzie biegunowym są dwie nierówności i jedna równość o niespotykanej wręcz złożoności:

Układ dwóch nierówności i jednego równania, opisujący sferę w układzie sferycznym [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}0\leq \varphi \leq 2\cdot\pi \\ 0\leq \theta\leq \pi \\ r = R\end{cases}

Generowanie wykresu powierzchni sferycznej w programie wxMaxima

Rys. 2
Wykres sfery wygenerowany w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:
Listing 1
  1. plot3d ( 1, [theta, 0, %pi], [phi, 0, 2*%pi],
  2. [transform_xy, spherical_to_xyz], [palette,[value,float(35 / 255),float(213/255),float(255/255),0.9]],[gnuplot_term, "svg size 500, 500"], [gnuplot_out_file, "C:\\Sfera_wxMaxima.svg"]);

Otrzymany plik edytowany i wyeksportowany został do wersji png w programie Inkscape

Podstawowe wzory dla kuli i sfery

Objętość kuli

Wzór na objętość kuli został wyprowadzony swego czasu na stronie Całki potrójne - obliczanie objętości i przyjmuje on postać następującą:

Wzór na objętość kuli [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3

Pole powierzchni kuli i sfery

Wzór na objętość kuli [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=4\cdot\pi\cdot R^2

Odcinek kuli / czasza kuli

Odcinkiem kuli jest każda z dwóch części kuli, przedziabanaj niczym glizda szpadlem płaszczyzną przechodzącą przez jej bebechy. Płaszczyzna taka dzieli sferę na dwie części nazywane czaszami kuli.

Ilustracja czaszy kuli
Rys. 3
Ilustracja czaszy kuli wraz z jej oznaczeniami:
  • h - wysokość czaszy;
  • r - promień promień podstawy;
  • R - promień promień kuli;
  • S - środek kuli.

Wzory dla odcinka kuli i czaszy kuli

Objętość odcinka kuli

Wzór na objętość odcinka kuli [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h+\frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h^3

Wzór na pole powierzchni czaszy

Wzór na pole powierzchni czaszy kulistej [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=2\cdot \pi\cdot R\cdot h

Wzór na promień r podstawy odcinka kuli

Wzór na promień podstawy odcinka kuli [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\sqrt{(2\cdot R-h)\cdot h}

Wycinek kuli

Wycinek kuli to części kuli, którą ogranicza powierzchnia boczna stożka prostego o wierzchołku znajdującym się w środku owej kuli.

Ilustracja wycinka kuli
Rys. 4
Wycinek kuli wraz z opisem:
  • h - wysokość czaszy;
  • r - promień promień podstawy czaszy;
  • R - promień promień kuli;
  • S - środek kuli.

Objętość wycinka kuli

Wzór na objętość wycinka kuli [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{2}{3}\cdot\pi\cdot R^2\cdot h

Warstwa kuli

Warsta kuli to zbiór punktów kuli znajdujących zawierający się pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami przecinającymi tę kulę.

Wzór na objętość warstwy kuli
Rys. 5
Wycinek kuli wraz z opisem:
  • h - wysokość warstwy kuli;
  • r1, r1 - promienie podstaw warstwy kuli;
  • R - promień promień kuli;
  • S - środek kuli.

Objętość warstwy kuli

Wzór na objętość warstwy kuli [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r_1^2\cdot h+\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r_2^2\cdot h+\frac{1}{6}\cdot \pi\cdot h^3

Komentarze