Stożki

Stronę tą wyświetlono już: 700 razy

Definicja stożka

Stożek prosty to bryła powstała w wyniku obrotu płaszczyzny trójkąta prostokątnego o kąt 360° względem osi przechodzącej przez jedną z przyprostokątnych tego trójkąta.

a)Stożek prostyb)Stożek pochyły
Rys. 1
Ilustracja dwóch rodzajów stożków: a) prosty (lub jak kto woli prawidłowy); b) pochyły.

Opis oznaczeń:

  • h wysokość stożka;
  • r - promień podstawy stożka.
  • L - tworząca stożka.
  • α - kąt rozwarcia stożka

Opis stożka prostego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Stożek prosty można opisać następującymi nierównościami:

Nierówności opisujące stożek prosty (obrotowy) w kartezjańskim układzie współrzędnych [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} {x^2 +y^2 \le \left(\cfrac{zr}{h}\right)^2}\\ {0\le z\le h}\end{cases}

gdzie:

  • promień r > 0;
  • wysokość h > 0.

Parametryczny zapis funkcji powierzchni stożka prostego:

Zapis parametryczny funkcji opisującej powierzchnię stożka prostego [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x = z\cdot\sin\,\varphi \\ y = z\cdot\cos\,\varphi \\ z=z \end{cases}

gdzie:

  • φ zawiera się w przedziale od 0 do 2·π;
  • z zawiera się w przedziale od 0 do h.

Przykład wygenerowanej płaszczyzny stożka za pomocą programu wxMaxima:

Wykres płaszczyzny stożka wygenerowany w programie wxMaxima
Rys. 2
Wykres płaszczyzny stożka wygenerowany w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:
Listing 1
  1. plot3d([x*cos(y), x*sin(y), x], [x, 0, 1], [y, 0, 2*%pi], [grid, 40,40],[gnuplot_term, "svg size 500, 500"], [gnuplot_out_file, "C:\\Wykres_stozka.svg"]);

Edytowany w programie Inkscape.

Podstawowe wzory

Objętość stożka dowolnego

Zarówno dla stożka prostego jak i pochyłego objętość można obliczyć z następującego wzoru:

Wzór na objętość stożka dowolnego V=πr^2*h*1/3 [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot \pi\cdot r^2\cdot h

gdzie:

  • Sp - pole powierzchni podstawy;
  • h - wysokość stożka.

Wyznaczaniem powyższego wzoru za pomocą całek zajmowałem się w zadaniu 1 na podstronie działu Matematyka → Całki oznaczone.

Pole powierzchni

Dla stożka prostego pole powierzchni można obliczyć korzystając z wzoru:

Wzór na pole powierzchni całkowitej stożka prostego [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\pi\cdot r\cdot(r+L)

gdzie:

  • r - promień stożka;
  • L - długość tworzącej stożka.

Pole powierzchni bocznej stożka prostego:

Wzór na pole powierzchni bocznej stożka prostego [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_b=\pi\cdot r\cdot L

Długość tworzącej L stożka prostego

Tworzącą L można a czasem nawet i trzeba obliczyć z następującego wzoru:

Wzór na długość tworzącej L stożka prostego [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=\sqrt{h^2+r^2}

Kąt α rozwarcia stożka prostego

Kąt rozwarcia α jest kątem przywierzchołkowym W poprzecznego osiowego przekroju stożka, wzór na ów kąt jest następujący:

Wzór na kąt rozwarcia stożka prostego [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha=2\cdot\arctan\frac{r}{h}

Promień kuli opisanej na stożku prostym

Wzór na promień kuli opisanej na stożku prostym [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_o=\frac{r\cdot L^2}{2\cdot r\cdot h}

Promień kuli wpisanej w stożek prosty

Wzór na promień kuli opisanej na stożku prostym [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_w=\frac{r\cdot h}{r+L}

Przekroje stożka

Ścięcie stożka prostego płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii

Wynikiem ścięcia stożka płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii jest oczywiście trójkąt równoramienny.

Ilustracja płaszczyzny ścięcia stożka prostego płaszczyzną przechodzącą przez oś jego symetrii
Rys. 3
Ilustracja płaszczyzny ścięcia stożka prostego płaszczyzną przechodzącą przez oś jego symetrii

Ścięcie stożka prostego płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek W

W wyniku przecięcia stożka prostego dowolną płaszczyzną taką, że wierzchołek W tego stożka należy do tej płaszczyzny skutkuje otrzymaniem trójkąta równoramiennego.

Ilustracja płaszczyzny ścięcia stożka prostego płaszczyzną przechodzącą jego wierzchołek W
Rys. 4
Ilustracja płaszczyzny ścięcia stożka prostego płaszczyzną przechodzącą jego wierzchołek W

Ścięcie stożka prostego płaszczyzną równoległą do podstawy

Wynikiem ścięcia stożka prostego płaszczyzną równoległą do jego podstawy jest okrąg.

Ilustracja płaszczyzny ścięcia stożka prostego równoległą do podstawy
Rys. 5
Ilustracja płaszczyzny ścięcia stożka prostego równoległą do podstawy

Wynikiem takiego zabiegu otrzymuje się bryłę nazywaną stożkiem ściętym, która również jest bryłą obrotową uzyskaną w wyniuku obrotu trapezu prostokątnego względem osi przechodzącej przez jego bok znajdujący się przy obu kątach prostych tego trapezu.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii większym niż połowa kąta jego rozwarcia α

Wynikiem takiego potraktowania stożka będzie płaszczyzna o zarysie eliptycznym.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii większym niż połowa kąta jego rozwarcia α
Rys. 6
Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii większym niż połowa kąta jego rozwarcia α.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii równym połowie kąta jego rozwarcia α

Wynikiem takiego ścięcia jest płaszczyzna o zarysie paraboli.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii równym połowie kąta jego rozwarcia α
Rys. 7
Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii równym połowie kąta jego rozwarcia α.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii większym niż połowa kąta jego rozwarcia α

Wynikiem takiego ścięcia jest płaszczyzna o zarysie hiperboli.

Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii większym niż połowa kąta jego rozwarcia α
Rys. 8
Ścięcie stożka płaszczyzną pod kątem mierzonym względem osi symetrii większym niż połowa jego rozwarcia α.

Stożek ścięty - podstawowe wzory

Stożek ścięty
Rys. 9
Stożek ścięty i jego oznaczenia:
  • r - średnica podstawy dolnej;
  • r2 - średnica podstawy górnej;
  • h - wysokość

Objętość stożka ściętego

Wzór na objętość stożka ściętego [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot\pi \cdot h\cdot(r^2+r\cdot r_2+r_2^2)

Pole powierzchni bocznej

Wzór na pole powierzchni bocznej stożka ściętego [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S_b=\pi\cdot L\cdot(r+r_2)

Wysokość stożka przed ścięciem

Wzór na wysokość przed ścięciem stożka ścietego [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

H=h+\frac{h\cdot r_2}{r-r_2}=\frac{h\cdot r}{r-r_2}

Długość tworzącej stożka

Wzór na długość tworzącej stożka [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=\sqrt{h^2+(r-r_2)^2}

Rozwinięcie siatki ostrosłupa prostego

Rozwinięcie siatki ostrosłupa ściętego
Rys. 10
Rozwinięcie siatki ostrosłupa ścięteg

Komentarze