Całki oznaczone

Stronę tą wyświetlono już: 911 razy

Zanim zacznę tłumaczyć czym jest całka oznaczona rozważmy konstrukcję obliczania pola powierzchni zawartej pomiędzy osią x a dowolną funkcją f(x) w przedziale od a do b (jak na rysunku 1). Obszar można podzielić na n prostokątów, których szerokość Δ będzie równa:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta x=\frac{b-a}{n}

zaś wysokość owego prostokąta będzie równa wartości funkcji f(x_i), gdzie xi jest równe:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_i=a+\Delta x\cdot i

gdzie:

  • i∈{1,2,..,n-1}

Wzór na całkowitą przybliżoną wartość pola powierzchni zawartej pomiędzy funkcją f(x) a osią x w przedziale od a do b można zapisać jako sumę elementarnych prostokątów:

Wzór na obliczenie przybliżonej wartości pola powierzchni znajdującego się pod daną funkcją f(x) [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\Delta x\cdot\sum_{i=1}^{n-1}f(a+\Delta x\cdot i)

Im większy jest podział, a więc im większe jest n tym więcej prostokątów o mniejszej szerokości Δx im więcej prostokątów tym dokładniejszy wynik. Reasumując, gdy n→∞ to Δx→0 i różnica pomiędzy rzeczywistym polem powierzchni a wyliczonym równa się 0. Pytanie zagadka to jak zsumować nieskończenie wiele prostokątów o nieskończenie małej szerokości aby uzyskać dokładny wynik? Odpowiedzią na to pytanie jest operator całki oznaczonej.

Graficzny opis metody obliczania pola powierzchni zawartej pomiędzy funkcją <b>f(x)</b> a osią <b>x</b> w przedziale <<b>a</b>,<b>b</b>>.
Rys. 1
Graficzny opis metody obliczania pola powierzchni zawartej pomiędzy funkcją f(x) a osią x w przedziale <a,b>.

Całka oznaczona stanowi różnicę dowolnych funkcji pierwotnych F(b)-F(a), gdzie a - dolna granica całkowania, b górna granica całkowania. Zapis matematyczny jest więc następujący:

Wzór wyznaczający funkcję pola powierzchni zawartej pomiędzy funkcją f(x) a osią x [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\int_{a}^{b} f(x),dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)+c-F(a)-c=F(b)-F(a)

Graficznie wynik działania [4] można obejrzeć na rysunku 2. Całkowanie umożliwia nie tylko pól powierzchni obliczanie ale również objętości, długości odcinków funkcji, środków ciężkości, momentów bezwładności.

Graficzna interpretacja całki oznaczonej z funkcji <b>f(x)</b> w przedziale całkowania <<b>a</b>,<b>b</b>>.
Rys. 2
Graficzna interpretacja całki oznaczonej z funkcji f(x) w przedziale całkowania <a,b>.
Całka oznaczona z funkcji, której wykres znajduje się poniżej osi x ma ujemną wartość pola powierzchni. W przypadku gdy wykres funkcji w przedziale <a, b> przebiega poniżej jak i powyżej osi x jej wartość jest równa różnicy pól powierzchni znajdujących się powyżej i poniżej osi x.

Komentarze