Czworościany

Stronę tą wyświetlono już: 303 razy

Czworościany należą do zacnej grupy brył zwanych ostrosłupami. Każdy szanujący się czworościan musi składać się z czterech trójkątnych ścian. Bryła ta nie ma przekątnych, ma za to cztery wierzchołki i sześć krawędzi. Ważną właściwością czworokątów jest to, że na każdym z nich można opisać kulę jak i weń wpisać kulę.

Czworościan
Rys. 1
Czworościan:
  • A, B, C, D - wierzchołki czworościanu.
  • h - wysokość czworościanu
  • a, b, c - wektory opisujące krawędzie czworościanu zbiegające się w jednym jego wierzchołku.

Podstawowe wzory

Objętość czworościanu

Objętość czworościanu, gdy dane są wektory: a; b; c można obliczyć z wzoru omawianego w dziele Matematyka → Wektory → Obliczanie objętości prostych brył geometrycznych

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\left|\frac{1}{6}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\circ\vec{c}\right|

Jeżeli dana jest wysokość h oraz wektory a i b to objętość można policzyć z wzoru:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\left|\frac{1}{6}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot h\right|

W bardziej ogólnym przypadku jest to iloczyn pola powierzchni podstawy razy {1}/{3} wysokości na nią spuszczonej:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot S_p

Możliwe jest też wyznaczenie objętości za pomocą następującego wzoru:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\sqrt{\frac{\Delta}{288}}

gdzie tajemnicza Δ jest niczym innym jak wyznacznikiem następującej macierzy:

Równanie [5] [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta = \left| \begin{matrix}0 & |BA|^2 & |CA|^2 & |DA|^2 & 1\\ |AB|^2 & 0 & |CB|^2 & |DB|^2 & 1\\ |AC|^2 & |BC|^2 & 0 & |DC|^2 & 1\\ |AD|^2 & |BD|^2 & |CD|^2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right|

Pole powierzchni bocznej

Gdy dane są wektory: a; b; c:

Równanie [6] [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

S=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|+\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|+\left|\vec{c}\times\vec{b}\right|+\left|\left[\vec{b}-\vec{a}\right]\times\left[\vec{c}-\vec{a}\right]\right|\right)

Promień kuli wpisanej w czworościan

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r = \frac{3\cdot V}{S_{A} + S_{B} + S_{C} + S_{D}}

gdzie V to objętość czworościanu, natomiast SA, SB, SC, SD to pola powierzchni boku, który nie zawiera wierzchołka wpisanego w indeksie dolnym.

Promień kuli opisanej na czworościanie

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R = \frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{\Gamma}{\Delta}}

gdzie Γ jest równa wyznacznikowi następującej macierzy:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Gamma = \left| \begin{matrix}0 & |BA|^2 & |CA|^2 & |DA|^2 &\\ |AB|^2 & 0 & |CB|^2 & |DB|^2\\ |AC|^2 & |BC|^2 & 0 & |DC|^2 \\ |AD|^2 & |BD|^2 & |CD|^2 & 0 \end{matrix}\right|

Czworościan foremny

Zagadnienia związane z czworościanem foremnym zostały opisane na stronie czworoscian_foremny.

Zadania

Zadanie 1

Oblicz objętość czworościanu ABCD, którego bok DC jest jego wysokością, jeżeli dane są długości boków |DC| = 4 [cm]; |AD| = |BD| = 5 [cm]; |DC| = 4 [cm]; |AB| = 3 [cm].

Na podstawie powyższego opisu należy narysować sobie taki ostrosłup w sposób pokazany na poniższym rysunku.

a)Rysunek czworościanu do zadania 1b)Rysunek czworościanu do zadania 1 z dodatkowymi oznaczeniami
Rys. 2
Rysunki czworościanu: a) - bez dodatkowych oznaczeń; b) - z dodatkowymi oznaczeniami

Ponieważ długości krawędzi |AB| i |BD| mają taką samą wartość to trójkąty ACD i BCD są przystającymi trójkątami prostokątnymi, co wynika z faktu, że jeden z boków tego trójkąta jest wysokością ostrosłupa h. Z tego z kolei wynika, że odcinki |AB| i |BC| są sobie równe. Do obliczenia objętości potrzebne jest wyznaczenie pola powierzchni podstawy a tą można obliczyć korzystając z wzoru na pole powierzchni trójkąta gdy dane są wszystkie długości boków. Konieczne jest więc obliczenie długości c z wykorzystaniem starego dobrego Matematyka → Geometria → Twierdzenie Pitagorasa w następujący sposób:

Obliczanie długości c [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^2=c^2+h^2\Rightarrow c^2=a^2-h^2\Rightarrow c=\sqrt{a^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3

Tak szczęśliwie się jakoś złożyło, że długość boku c jest równa tyle co długość boku d, a więc w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, którego powierzchnię można obliczyć w następujący sposób:

Pole powierzchni podstawy ostrosłupa [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P=\frac{d^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\frac{9\cdot\sqrt{3}}{4}

Pozostało już tylko obliczenie objętości czworościanu ABCD:

Obliczanie objętości czworościanu [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{1}{3}\cdot P\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot 4=3\cdot\sqrt{3}

Zadanie 2

Czworościan foremny ABCD niczym drzewa za rządu PiS-u został ścięty w połowie swojej wysokości płaszczyzną równoległą do podstawy. Powstała w ten sposób bryła zawierająca podstawę oryginalnego ostrosłupa ma objętość równą V.

Obliczyć objętość ostrosłupa przed ścięciem.

Najpierw wypadałoby nieco rozrysować sytuację co też i z najdzikszą wręcz rozkoszą czynię na poniższym rysunku.

Czworościan foremny do zadania 2
Rys. 3
Rozrysowany czworościan foremny wraz z zaznaczeniem jego płaszczyzny ścięcia.

Istotną rolę w rozwiązaniu tego zadania odgrywa wzór [3] z strony Matematyka → Geometria → Bryły Platońskie, który określa związek pomiędzy wysokością h ostrosłupa foremnego a długością jego podstawy a w następujący sposób:

Wzór na wysokość czworościanu foremnego [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

h=a\cdot\frac{\sqrt {24}}{6}=\frac{\sqrt 6}{3}\cdot a\approx 0,8165\cdot a

oraz wzór [2] z tej samej strony określający zależność objętości od długości boku a czworościanu foremnego w następujący sposób:

Wzór na objętość czworościanu foremnego [14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}} {12}\cdot {a^3}\approx 0,1179\cdot a^3

Objętość V ściętego czworościanu jest znana, wiadomo też, że jest ona równa różnicy objętości dużego czworościanu o boku a i małego czworościanu o boku a1. Tym samym można zapisać następującą równość:

Równanie ściętej części ostrosłupa [15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3-\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a_1^3

Przyjrzyjmy się teraz nieco łaskawszym okiem zależności [13], dzięki której można zapisać następującą zależność:

Zależność a1 od a2 wynikająca z zastosowania wzoru [13] [16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{h}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot a_1=\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot a\Rightarrow a_1=\frac{1}{2}\cdot a

Podstawiamy do równania [15] równanie [16] otrzymując tym samym:

Podstawienie do wzoru [15] zależności [16] [17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3-\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot \frac{a^3}{8}=\frac{7}{8}\cdot\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3

Ponieważ szukamy:

Wzór na objętość czworościanu, która jest szukana [18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{cw}=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^3

więc:

Ostateczne rozwiązanie zadania [19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{cw}=\frac{8}{7}\cdot V

Komentarze