Pochodna funkcji

Stronę tą wyświetlono już: 932 razy

Pochodna funkcji w punkcie P jest równa tangensowi kąta α zawartego pomiędzy osią x a styczną do punktu P (jak na rysunku 1).

Graficzna interpretacja pochodnej funkcji
Rys. 1
Graficzna interpretacja pochodnej funkcji f(x).

Niechaj istnieje dowolny punkt P o współrzędnych x, f(x) oraz punkt P' o współrzędnych x+Δx, f(x+Δx). Taka para punktów wyznacza linię l przechodzącą przez nie jak na rysunku 2.

Wyprowadzenie definicji funkcji pochodnej
Rys. 2
Wyprowadzenie definicji funkcji pochodnej.

Tangens kąta β z rysunku 2 można więc wyznaczyć na podstawie współrzędnych punktów P oraz P' w następujący sposób:

Równanie związane z interpretacją graficzną pochodnej [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan\,\beta=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{x+\Delta x-x}\=frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Gdy Δx0 wtedy tan βtan α, a więc pochodną funkcji f(x) wyznacza granica dla Δx0:

Równanie związane z interpretacją graficzną pochodnej [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Komentarze