Kratownice statycznie wyznaczalne - rozwiązywanie metodą graficzną planu sił Cremony

Stronę tą wyświetlono już: 3005 razy

Nadeszła wiekopomna chwila, aby zacząć rozwiązywać kratownice statycznie wyznaczalne metodą graficzną planu Cremony. Najpierw rozwiążę tutaj bardzo prosty przykład, a nieco później rozwiążę przykład nieco trudniejszy.

Ilustracja prostej kratownicy do rozwiązania metodą graficzną
Rys. 1
Ilustracja prostej kratownicy do rozwiązania metodą graficzną.

Najpierw konieczne jest naniesienie na powyższy rysunek oznaczeń promieni, na których działają siły czynne i reakcje względem punktu A, ponieważ odległości te będą potrzebne do graficznego wyznaczenia reakcji RB.

Ilustracja prostej kratownicy do rozwiązania metodą graficzną z naniesionymi promieniami dla momentów względem podpory A
Rys. 2
Ilustracja prostej kratownicy do rozwiązania metodą graficzną z naniesionymi promieniami dla momentów względem podpory A

Teraz można się oddać spokojnej przyjemności wyznaczenia reakcji RB, ponieważ znane są już promienie rRB oraz r1 można zastosować tutaj konstrukcję graficznego mnożenia z dzieleniem, która opisana została na stronie Matematyka → Geometria → Twierdzenie Talesa na rysunku 12.

Graficzne wyznaczanie reakcji podpory RB
Rys. 3
Wyznaczanie reakcji podpory RB za pomocą konstrukcji graficznego mnożenia i dzielenia.

Korzystając ze skali z rysunku 1 można odczytać wartość reakcji RB, która wynosi -2 kN.

Teraz, z najdzikszą wręcz rozkoszą oddaję się graficznemu dodawaniu wszystkich sił czynnych i reakcji działających na kratownicę w osi y.

Graficzne dodawanie reakcji i sił na osi y
Rys. 4
Graficzne dodawanie sił czynnych i reakcji działających na osi y

Z powyższej ilustracji wynika, że siła F1 jest całkowicie kompensowana przez reakcję RB a co za tym idzie reakcja RAy jest równa 0.

Czas "obliczyć" sumę sił i reakcji na osi x co też i z najdzikszą wręcz rozkoszą uczyniłem na poniższej ilustracji.

Graficzne dodawanie reakcji i sił na osi x
Rys. 5
Graficzne dodawanie sił czynnych i reakcji działających na osi x

Z powyższej ilustracji wynika niezbicie, że reakcja RAx musi i równa się sile F1 z przeciwnym zwrotem.

Wprowadzam dodatkowe oznaczenia pól powierzchni, które oddzielają reakcje, siły czynne oraz siły wewnątrz prętów a także oznaczenia poszczególnych prętów kratownicy.

Kratownica z naniesionymi oznaczeniami pól powierzchni i prętów
Rys. 6
Kratownica z naniesionymi oznaczeniami pól powierzchni a, b, c, d, e, f i prętów s1, s2, s3

Na podstawie rysunku 6 należy narysować wielobok sił czynnych i reakcji podpór, gdzie dana siła lub reakcja ma początek i koniec w punktach oznaczonych nazwami pól, z którymi dana siła lub reakcja podpory sąsiaduje. Dla przykładu, reakcja RAx sąsiaduje z polem a i polem b, dlatego też narysowany jej wektor ma punkty krańcowe oznaczone jako a oraz b. Z punktu b wychodzi siła F1, która kończy się w punkcie c, ponieważ siła F1 sąsiaduje z polem b oraz polem c. Z punktu c wychodzi siła F2, która z kolei kończy się w punkcie d, a to dlatego, że siła F2 sąsiaduje z polem c oraz z polem d. Z punktu d wychodzi reakcja RB, która kończy się w punkcie e, ponieważ reakcja RB sąsiaduje z polem d oraz z polem e. Reakcja RAy, której wartość jest równa 0, zaczyna się w punkcie e i kończy w punkcie a, ponieważ sąsiaduje ona z polem e oraz z polem a.

Wielobok sił czynnych i reakcji kratownicy
Rys. 7
Wielobok sił czynnych i reakcji kratownicy

Bazując na rysunku 6 oraz rysunku 7 wyznaczę graficznie siły w prętach s1, s2 i s3. Siły w prętach s1, s2 i s3 wyznacza się poprzez wykreślenie linii równoległych do linii tych prętów, które należy poprowadzić z punktu, z którego polem dany pręt sąsiaduje. Dla przykładu pręt s1 sąsiaduje z polem e, więc z punktu e należy poprowadzić prostą równoległą do pręta s1. Teraz dla pręta s2 z punktu b należy również poprowadzić prostą równoległą do tegoż pręta. Punkt przecięcia się obu prostych wyznacza punkt f. Pozostało jeszcze poprowadzenie prostej z punktu d, która będzie odpowiadała prętowi s3. Jeżeli wszystko zostało dobrze rozrysowane, to prosta ta powinna przeciąć punkt f.

Graficzne wyznaczanie sił w prętach s1, s2 ,s3
Rys. 8
Graficzne wyznaczanie sił w prętach s1, s2 i s3

Jak odczytać siły w prętach? Prosto, należy zobaczyć, z którymi polami powierzchni dany pręt sąsiaduje, np. pręt s1 sąsiaduje z polem e oraz polem f, w związku z czym na powyższym wykresie mierzę odległość od punktu e do punktu f (oczywiście w obranej skali) i otrzymana wartość mówi nam o sile, jaka działa na ten pręt. To samo tyczy się prętów s2 oraz s3.

Rozwiążę jeszcze jedno, nieco trudniejsze zadanko z rysunku 9.

Zadanie do graficznego rozwiązania
Rys. 9
Zadanie do graficznego rozwiązania.

Nanoszę pomocnicze oznaczenia na rysunek 9.

Zadanie do graficznego rozwiązania z naniesionymi dodatkowymi pomocniczymi oznaczeniami
Rys. 10
Zadanie do graficznego rozwiązania z naniesionymi dodatkowymi pomocniczymi oznaczeniami

Graficzne wyznaczanie składowych reakcji RB(F1) oraz RB(F2).

Wyznaczanie składowych reakcji RB
Rys. 11
Wyznaczanie składowych reakcji RB(F1) oraz RB(F2)

Suma reakcji składowych RB(F1) oraz RB(F2) jest równa reakcji RB podpory przesuwnej B, a więc graficznie wygląda to tak jak na poniższym rysunku.

Reakcja RB
Rys. 12
Wyznaczanie reakcji RB

Suma sił czynnych i reakcji na osi y

Wyznaczanie reakcji RAy
Rys. 13
Wyznaczanie reakcji RAy za pomocą sumy wszystkich sił czynnych i reakcji działających w osi y, która to suma musi być równa 0

Suma sił czynnych i reakcji na osi x

Wyznaczanie reakcji RAx
Rys. 14
Wyznaczanie reakcji RAx za pomocą sumy wszystkich sił czynnych i reakcji działających w osi x, która to suma musi być równa 0

Wprowadzenie oznaczeń pól powierzchni i prętów na kratownicę z rysunku 9.

Kratownica z oznaczeniami pól powierzchni i prętów
Rys. 15
Kratownica z oznaczeniami pól powierzchni i prętów

Kreślenie wieloboku sił czynnych i reakcji podpór.

Wielobok sił czynnych i reakcji kratownicy
Rys. 16
Wielobok sił czynnych i reakcji kratownicy.

Wyznaczenie punktu i za pomocą prętów s1 i s2.

Wyznaczanie punktu i
Rys. 17
Wyznaczanie punktu i.

Wyznaczanie punktu h za pomocą prętów s3 i s4.

Wyznaczanie punktu h
Rys. 18
Wyznaczanie punktu h.

Wyznaczanie punktu g za pomocą prętów s5 i s6.

Wyznaczanie punktu g
Rys. 19
Wyznaczanie punktu g.

Wyznaczanie punktu f za pomocą prętów s7 i s8.

Wyznaczanie punktu f
Rys. 20
Wyznaczanie punktu f.

Odczyt wartości sił z uwzględnieniem skali odbywa się poprzez znalezienie pól powierzchni, z którymi dany pręt sąsiaduje i zmierzeniu odległości od tych punktów na rysunku 20. Dla przykładu pręt s9 sąsiaduje z polem e oraz z polem f a odległość pomiędzy tymi punktami na rysunku 20 z uwzględnieniem skali wynosi 1,4 kN. Podobnie odczytać można a nawet trzeba siły w pozostałych prętach.

Kolejne zadanie rozwiązane już bez zbędnego rozpisywania się co i jak.

Wyznaczenie reakcji sił w prętach metodą graficzną planu Cremony.
Rys. 21
Wyznaczenie reakcji sił w prętach metodą graficzną planu Cremony: a) ilustracja kratownicy do rozwiązania; b) wyznaczanie graficzne cząstkowych reakcji podpory B; c) graficzne wyznaczanie reakcji całkowitej podpory RB; d) graficzne wyznaczenie reakcji podpory RAy; e) wprowadzenie dodatkowych oznaczeń prętów i pól powierzchni w rozwiązywanej kratownicy; f) wykreślenie wielooku sił czynnych i reakcji wraz z planem Cremony.

I jeszcze jedno zadanie.

Wyznaczenie reakcji sił w prętach metodą graficzną planu Cremony.
Rys. 22
Wyznaczenie reakcji sił w prętach metodą graficzną planu Cremony: a) ilustracja kratownicy do rozwiązania; b) wyznaczanie graficzne cząstkowych reakcji podpory RBy; c) graficzne wyznaczanie reakcji całkowitej podpory RBy; d) graficzne wyznaczenie reakcji podpory RA; e) graficzne wyznaczanie reakcji RBx; f) wprowadzenie dodatkowych oznaczeń prętów i pól powierzchni w rozwiązywanej kratownicy; g) wykreślenie wielooku sił czynnych i reakcji wraz z planem Cremony.

I kolejne zadanie.

Wyznaczenie reakcji sił w prętach metodą graficzną planu Cremony.
Rys. 23
Wyznaczenie reakcji sił w prętach metodą graficzną planu Cremony: a) ilustracja kratownicy do rozwiązania; b) wyznaczanie graficzne cząstkowych reakcji podpory RBy; c) graficzne wyznaczanie reakcji całkowitej podpory RBy; d) graficzne wyznaczenie reakcji podpory RA; e) wprowadzenie dodatkowych oznaczeń prętów i pól powierzchni w rozwiązywanej kratownicy; f) wykreślenie wielooku sił czynnych i reakcji wraz z planem Cremony.

Komentarze