Spirala Archimedesa

Stronę tą wyświetlono już: 2088 razy

Opis matematyczny

Spirala Archimedesa jest krzywą, którą można zapisać w współrzędnych biegunowych w następującej postaci:

Zapis spirali Archimedesa w układzie biegunowym [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R(\varphi)=\frac{\left(k\cdot\varphi+\Delta k\right)}{2\cdot\pi}\cdot\left(\varphi+\Delta\varphi\right)

gdzie:

  • φ - zmienna kąta wyrażonego w radianach;
  • R(φ) - funkcja zależności promienia od kąta φ;
  • k - parametr określający przyrost odległości pomiędzy poszczególnymi zwojami spirali Archimedesa;
  • Δk - parametr przesuwający promień wodzący funkcji o zadaną wartość;
  • Δφ - parametr przesuwający kąt początkowy spirali Archimedesa

Równania parametryczne spirali Archimedesa:

Parametryczne równanie spirali Archimedesa [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x=\cfrac{k\cdot\varphi+\Delta k}{2\cdot\pi}\cdot\sin\left(\varphi+\Delta\varphi\right)+\Delta x \\ y= \cfrac{k\cdot\varphi+\Delta k}{2\cdot\pi}\cdot\cos\left(\varphi+\Delta\varphi\right)+\Delta y\end{cases}

gdzie:

  • Δx - przemieszczenie w osi x;
  • Δy - przemieszczenie w osi y.
Rys. 1
Wpływ poszczególnych współczynników na kształt spirali Archimedesa:
  • a) ze zmiennym parametrem Δk;
  • b) z zmiennym parametrem k;
  • c) z zmiennym parametrem Δφ;
  • d) z zmiennymi parametrami Δx i Δy.

Klatki do powyższych animacji zostały wykonane w programie wxMaxima, natomiast poskładane zostały w programie Gimp

Wzory

Istnieje możliwość obliczenia pola powierzchni pod wykresem spirali Archimedesa dla zakresu kątów od φ1 do φ2, gdzie φ2-φ1≤2π oraz φ1φ2.

Wzór na pole powierzchni zawartej pod krzywą spirali Archimedesa [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_p=\frac{R^2}{24\cdot\pi^2}\cdot\left(\varphi_2\,^3-\varphi_1\,^3\right)

gdzie:

  • R - odległość pomiędzy sąsiadującymi zwojami spirali Archimedesa;
  • φ1 - kąt początkowy spirali Archimedesa;
  • φ2 - kąt końcowy spirali Archimedesa

Zastosowanie spirali Archimedesa

W technice spirala Archimedesa ma zastosowanie w obrabiarkach nazywanych tokarkami. Ściślej rzecz ujmując w uchwycie tokarskim znajduje się spirala Archimedesa, która odpowiedzialna jest za równomierne przesuwanie szczęk tego uchwytu jak widać na załączonym ponirzej rysunku.

uchwyt tokarski jako praktyczny przykład zastosowania spirali Archimedesa w technice
Rys. 2
Uchwyt tokarski jako przykład praktycznego wykorzystania spirali Archimedesa w technice.

Ilustracja wykonana w programie Inkscap-e

Spirala Archimedesa ma pewne mafijne powiązanie z problemem kwadratury koła, który oczywiście jest nierozwiązywalny przy użyciu cyrkla i linijki. Czym jest kwadratura koła? Z najdzikszą rozkoszą odpowiem, że jest to problem wyznaczenia długości boku kwadratu, takiego, że jego pole powierzchni odpowiada polu powierzchni koła o promieniu R. Jeżeli chodzi o spiralę Archimedesa, to linia styczna do jej krzywej w punkcie A z poniższego rysunku wyznacza trójkąt OAB, którego długość boku OA jest równa promieniowi R, a długość boku OB jest równa 2·π·R. Co ciekawe pole powierzchni tego trójkąta jest równe polu powierzchni okręgu o promieniu R, jednakże nas interesuje wyznaczenie długości boku kwadratu, a do tego celu potrzebna jest połowa długości OB powiększona o długość OA. Tak otrzymany odcinek należy podzielić na pół aby w końcu otrzymać długość boku kwadratu, którego pole powierzchni jest równe polu powierzchni koła o promieniu R.

kwadratura koła a spirala Archimedesa
Rys. 3
Spirala Archimedesa i kwadratura koła - trójkąt OAB ma pole powierzchni równe polu powierzchni koła o promieniu R.

Ilustracja wygenerowana w programie wxMaxima za pomocą następującego kodu:

Listing 1
  1. plot2d([[parametric, phi / (2*%pi)*cos(phi),phi / (2*%pi)*sin(phi),[phi,0,2*%pi],[nticks,160]],[discrete,[0,1,0,0],[0,0,-2*%pi,0]]],[x,-1,1],[y,-7,1],[gnuplot_term, "svg size 205, 600"], [gnuplot_out_file, "C:\\spirala_i_kwadratura_kola.svg"],[legend,false]);

Zmodyfikowana w programie Inkscap-e

Grafika żółwia - kreślenie spirali Archimedesa

W Pythonie jest moduł o nazwie turtle, który umożliwia pisanie programów rysujących różne figury geometryczne. Oto prosty przykład programu rysującego spiralę Archimedesa:

Listing 2
  1. import turtle as tr
  2. import math as mt
  3. tr.pensize(10)
  4. def drawSpiral(angle, a):
  5. for i in range(angle):
  6. tr.pencolor((i / angle, 1 - i / angle, 0))
  7. tr.goto(a * i * mt.sin(mt.radians(i)), a * i * mt.cos(mt.radians(i)))
  8. drawSpiral(360 * 10, 0.1)

Więcej na temat pisania programów w Pythonie oraz na temat grafiki żółwia można poczytać na stronie Programowanie → Podstawy Pythona → Grafika żółwia.

Komentarze