Wielokąty foremne i liczby pierwsze Fermata

Stronę tą wyświetlono już: 419 razy

Liczby pierwsze Fermata

Istnieje pewna szczególna grupa wielokątów foremnych, które są powiązane w pewien sposób z liczbami pierwszymi Fermata. Zanim jednak przejdę do sedna sprawy, wypadało by opowiedzieć coś nieco o samych liczbach Fermata, które zostały odkryte przez Pierre de Fermat-a. Liczby Fermata są elementami ciągu, którego n-ty element można opisać za pomocą następującego wzoru:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_n=2^{2^n}+1

Fermat twierdził a w zasadzie przypuszczał, że wszystkie liczby tego ciągu są liczbami pierwszymi. Niestety chłop się mylił, ponieważ okazało się, że tylko 5 pierwszych elementów ciągu znanych nam liczb Fermata są liczbami pierwszymi. W ogólności, wszystkie elementy ciągu liczb Fermata należą do zbioru liczb względnie pierwszych, oznacza to, że każda liczba Fermata jest albo liczbą pierwszą, albo liczbą, która dzieli się tylko przez: siebie oraz parę liczb pierwszych.

Liczby pierwsze Fermata to:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_0 = 2^1 + 1 = 3

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_1 = 2^2 + 1 = 5

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_2 = 2^4 + 1 = 17

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_3 = 2^8 + 1 = 257

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_4 = 2^{16} + 1 = 65537

Znane są jeszcze trzy inne liczby Fermata, które nie spełniają warunku pierwszości, ale są liczbami względnie pierwszymi:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_5 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641\cdot 6700417

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_6 = 2^{64} + 1 = 18446744073709551617 = 274177 \cdot 67280421310721

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

F_7 = 2^{128} + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 \cdot 5704689200685129054721

Mi osobiście udało się wyliczyć przy pomocy mojego własnego programu następujące liczby Fermata:

F8=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937;

F9=1340780792994259709957402499820584612747936582059239337772356144372

1764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097;

F10=179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157

7326758055009631327084773224075360211201138798713933576587897688144166224928474306394741243777

6789342486548527630221960124609411945308295208500576883815068234246288147391311054082723716335

0510684586298239947245938479716304835356329624224137217;

F11=32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524

65513886789089319720141152291346368871796092189801949411955915049092109508815238644828312063087

73673009960917501977503896521067960576383840675682767922186426197561618380943384761704705816458

52036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035

32632205807780565933102619270846031415025859286417711672594360371846185735759835115230164590440

36976132332872312271256847108202097251571017269313234696785425806566979350459972683529986382155

25166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596230657

F12=1044388881413152506691752710716624382579964249047383780384233483283953907

9715574568488268119349975583408901067144392628379875734381857936072632360878513652779459569765437099983403615901343837183

1442807001185594622637631883939771274567233468434458661749680790870580370407128404874011860911446797778359802900668693897

6881787785946905630190260940599579453432823469303026696443059025015972399867714215541693835559885291486318237914434496734

0878118726394964751001890413490084170616750936683338505510329720882695507699836163694119330152137968258371880918336567512

2131849284636812555022599830041234478486259567449219461702380650591324561082573183538008760862210283427019769820231316901

7678006675195485079921636419370285375124784014907159135459982790513399611551794271106831134090584272884279791554849782954

3235345170652232690613949059876930021229633956877828789484406160074129456749198230505716423771548163213806310459029161369

2670834285644073044789997190178146576347322385026725305989979599609079946920177462481771844986745565925017832907047311943

3165550807568221846571746373296884912819520317457002440926616910874148385078411929804522981857338977648103126085903001302

413467189726673216491511131602920781738033436090243804708340403154190337

Twierdzenie Gaussa-Wantzela

Każdy n-kąt foremny da się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy liczba n da się zapisać w postaci:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

n=2^a

lub w postaci:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

n=2^{a_0}\cdot p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_s

gdzie:

  • a - to liczba naturalna większa od 1;
  • a0 - to liczba całkowita;
  • p1, p2, ... , ps -różne liczby pierwsze Fermata.

Dla przykładu, wielokąty foremne typu 3·2a0 dają się skonstruować jako pochodne trójkąta równoramiennego w sposób pokazany na rysunku 1.

Konstrukcja wielokątów foremnych 3, 6, i 12 bocznych
Rys. 1
Wielokąty foremne o liczbie boków 3, 6 i 12 stworzone dla a0 = 0; 1 i 2.

Komentarze