Sześciokąt foremny i heksagram

Stronę tą wyświetlono już: 943 razy

Podstawowe cechy

Długość boku a każdego sześciokąta foremnego jest równa promieniowi Ro okręgu opisanego na tym sześciokącie. Z kolei długość promieniaRo pomnożona przez dwa jest równa długości przekątnej głównej P1, która równocześnie jest symetralną kąta wewnętrznego α sześciokąta foremnego. Kąt α jest równy 120°. Całkowita suma kątów wewnętrznych sześciokąta foremnego wynosi 720° czyli 4·π. W sześciokącie foremnym znajdują się trzy przekątne główne P1 i sześć przekątnych krótszych P2, przy czym te ostatnie tworzą heksagram. Każdy sześciokąt foremny można podzielić na sześć trójkątów równobocznych, co stanowi podstawę wyprowadzenia wzoru na jego pole powierzchni.

Sześciokąt foremny
Rys. 1
Sześciokąt foremny.

Opis oznaczeń:

  • A, B, C, D, E, F - wierzchołki sześciokąta foremnego;
  • Sc - środek ciężkości, środek okręgu opisanego na i wpisanego w sześciokąt foremny oraz punkt przecięcia się symetralnych boków i kątów sześciokąta foremnego;
  • a - boki sześciokąta foremnego;
  • P1 - przekątne główne sześciokąta foremnego;
  • P2 - przekątne krótsze sześciokąta foremnego;
  • S - symetralne kątów wewnętrznych sześciokąta foremnego;
  • Sa - symetralne boków a sześciokąta foremnego;
  • α - kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego

Jeżeli chodzi o sam hezagram, jego pole powierzchni jest równe {{1}/{3}} pola powierzchni sześciokąta zbudowanego na jego zewnętrznych wierzchołkach.

Hexagram wpisany w sześciokąt foremny
Rys. 2
Hexagram wpisany w sześciokąt foremny.

Opis oznaczeń:

  • A, B, C, D, E, F - wierzchołki zewnętrzne sześciokąta foremnego i hexagramy;
  • G, H, I, J, K, L - wierzchołki zewnętrzne sześciokąta foremnego i hexagramy;
  • Sc - środek ciężkości, środek okręgu opisanego na i wpisanego w sześciokąt foremny oraz punkt przecięcia się symetralnych boków i kątów sześciokąta foremnego i hexagramu;
  • a - boki sześciokąta foremnego;
  • P2 - przekątne krótsze sześciokąta foremnego a zarazem boki hexagramu;

Podstawowe wzory

Sześciokąta foremnego

Obwód sześciokąta foremnego:

Wzór na obwód sześciokąta foremnego [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=6\cdot a=6\cdot R_o

Pole powierzchni sześciokąta foremnego, gdy znana jest długość boku a a tym samym promień Ro okręgu opisanego na nim jest równe:

Wzór na pole powierzchni sześciokąta foremnego, gdy dana jest długość boku a [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{3\cdot a^2\cdot \sqrt{3}}{2}

Znając pole powierzchni hexagramu pole powierzchni sześciokąta foremnego jest równe:

Wzór na pole powierzchni sześciokąta foremnego, gdy dane jest pole powierzchni heksagramu na nim zbudowanego [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=3\cdot P_{pow\, hex}

Długość przekątnej głównej P1 wynosi:

Wzór na długość przekątnej najdłuższej sześciokąta foremnego [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{1}=2\cdot a=2\cdot R_{o}

Długość przekątnej krótszej P2 wynosi:

Wzór na długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{2}=2\cdot R_{w}=S_a=a\cdot sqrt{3}

Hexagramu

Obwód, gdy znana jest długość boku P2 hexagramu a zarazem długość krótszej przekątnej sześciokąta na nim opisanego:

Wzór na obwód heksagramu, gdy znana jest długość jego boku, która jest równa długości krótszej przekątnej sześciokąta foremnego [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L_{hex}=6\cdot P_2=6\cdot a\cdot sqrt{3}

Pole powierzchni hexagramu to {{1}/{3}} pola powierzchni sześciokąta na nim opisanego, a więc:

Wzór na pole powierzchni heksagramu względem pola powierzchni sześciokąta foremnego, na którym ten heksagram został zbudowany [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow\,hex}=\frac{1}{3}\cdot P_{pow}=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{2}

Grafika żółwia - kreślenie sześciokąta i hexagramu

W Pythonie znajduje się specjalny moduł turtle poświęcony grafice żółwia, poniżej zamieszczam przykład kodu, który rysuje sześciokąt foremny:

Listing 1
  1. import turtle as tr
  2. tr.pensize(10)
  3. L = 100
  4. for i in range(6):
  5. tr.forward(L)
  6. tr.left(360 / 6)

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby wykreślić heksagram za pomocą kodu następującego:

Listing 2
  1. import turtle as tr
  2. tr.pensize(10)
  3. L = 100
  4. for i in range(3):
  5. tr.forward(L)
  6. tr.left(120)
  7. tr.forward(L / 3)
  8. tr.right(60)
  9. tr.forward(L / 3)
  10. tr.left(120)
  11. for i in range(3):
  12. tr.forward(L)
  13. tr.left(120)

Na koniec rysowanie sześciokąta foremnego z heksagramem:

Listing 3
  1. import turtle as tr
  2. tr.pensize(10)
  3. L = 100
  4. for i in range(6):
  5. tr.forward(L)
  6. tr.left(360 / 6)
  7. l = L * 3 ** 0.5
  8. tr.left(30)
  9. tr.pencolor((1.,0,0))
  10. for i in range(3):
  11. tr.forward(l)
  12. tr.left(120)
  13. tr.forward(l / 3)
  14. tr.right(60)
  15. tr.forward(l / 3)
  16. tr.left(120)
  17. for i in range(3):
  18. tr.forward(l)
  19. tr.left(120)

Więcej na temat pisania programów w Pythonie oraz na temat grafiki żółwia można poczytać na stronie Metrologia → Przyrządy pomiarowe → Kątomierze warsztatowe.

Komentarze