Pięciokąt foremny i pentagram

Stronę tą wyświetlono już: 2230 razy

Podstawowe cechy szczególne

Każdy kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego jest równy 108°, zaś jego środek ciężkości, środek okręgu opisanego, środek okręgu wpisanego, punkt przecięcia się symetralnych boków oraz punkt przecięcia się symetralnych kątów wewnętrznych pięciokąta foremnego znajdują się w jednym i tym samym punkcie Sc. Pięciokąt foremny, jest wielokątem foremnym o największej liczbie boków, którego wszystkie przekątne p mają takie same długości. Wszystkie przekątne łączą się z sobą tworząc figurę geometryczną zwaną pentagramem. Każda symetralna s boku pięciokąta foremnego jest równocześnie symetralną jego kąta wewnętrznego.

Stosunek długości przekątnej p do długości boku a pięciokąta foremnego jest dany następującą zależnością:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{p}{a}=\varphi

gdzie φ jest to liczba złota, której wartość wynosi około 1,6180339887...

Trójkąty równoramienne o ramionach długości przekątnej p i buku długości a oraz o długości ramion długości boku a oraz ramionach długości c są nazywane trójkątami złotymi. Każdy trójkąt równoramienny, którego kąt znajdujący się pomiędzy ramionami jest równy 108° lub 36° jest trójkątem złotym.

Pięciokąt foremny
Rys. 1
Pięciokąt foremny.

Opis oznaczeń:

  • A, B, C, D, E - wierzchołki pięciokąta foremnego;
  • F, G, H, I, J - punkty przecięcia się symetralnych s z bokami a pięciokąta foremnego;
  • Sc - środek ciężkości, środek okręgu opisanego na i wpisanego w pięciokąt foremny oraz punkt przecięcia się symetralnych;
  • a - boki pięciokąta foremnego;
  • p - przekątne pięciokąta foremnego;
  • s - symetralne pięciokąta foremnego;
  • α - kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego;
  • Rw - promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny;
  • Ro - promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym.

Boki pentagramu można podzielić na mniejsze części c i b tak, jak uczyniłem to ja na rysunku 2. Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąty równoramienne o długości ramion c i długości boku b są również trójkątami złotymi, aby móc napisać następującą, prawdziwą równość:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{p}{a}=\frac{c}{b}=\frac{a}{c}=\frac{c+b}{c}=\frac{2\cdot c+b}{c+b}=\varphi

Powyższe zależności wynikają z istnienia sporej liczby trójkątów złotych w pentagramie wraz z pięciokątem. Dodać tylko mogę, że istnieje taka oto równość, pomiędzy długościami a, b i c:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a=b+c

Zależność [3] wynika choćby z trójkąta ABH, który jak się okazuje, jest trójkątem złotym co wykazać można badając jego kąty wewnętrzne. Dociekanie tego jakże złożonego zagadnienia pozostawię Czytelnikowi, aby mu się nie nudziło.

Pięciokąt foremny i pentagram
Rys. 2
Pięciokąt i pentagram.

Opis oznaczeń:

  • A, B, C, D, E - wierzchołki pięciokąta foremnego;
  • F, G, H, I, J - punkty przecięcia się symetralnych s z bokami a pięciokąta foremnego;
  • Sc - środek ciężkości, środek okręgu opisanego na i wpisanego w pięciokąt foremny oraz punkt przecięcia się symetralnych;
  • a - boki pięciokąta foremnego;
  • c, b - odcinki składające się na przekątną pięciokąta foremnego oraz na boki pentagramu;
  • α - kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego;
  • β - kąt wewnętrzny pentagramu;
  • γ - kąt zewnętrzny pentagramu;
  • Rw - promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny;
  • Ro - promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym.

Podstawowe wzory

Pięciokąt foremny

Obwód pięciokąta foremnego:

Wzór na obwód pięciokąta foremnego [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L = 5\cdot a

Pole powierzchni pięciokąta foremnego można obliczyć z następującego wzoru:

Wzór na pole powierzchni pięciokąta foremnego [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow} = \frac{5\cdot a^2}{4}\cdot\operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} = \frac{a^2}{4}\cdot\sqrt{25+10\cdot\sqrt{5}} \approx 1{\,}72048\cdot a^2

Promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym:

Wzór na promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_o=\frac{a\cdot\sqrt{50+10\cdot\sqrt{5}}}{10}

Promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny:

Wzór na promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_w=\frac{a\cdot\sqrt{25+10\cdot\sqrt{5}}}{10}

Długość przekątnej p a zarazem długość boku pentagramu wpisanego w pięciokąt:

Wzór na długość przekątnej p pięciokąta foremnego [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

p=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot a=\varphi\cdot a

Pentagram

Obwód pentagramu:

Wzór na obwód pentagramu [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=5\cdot p=5\cdot a\cdot \varphi=5\cdot\left(b+c\right)\cdot \varphi=5\cdot b\cdot\left(1+\varphi\right)\cdot \varphi

Zależność [9] wynika z zastosowania wzoru [2].

Pole powierzchni pentagramu jest równe polu powierzchni pięciu złotych trójkątów o długości boku równej c:

Wzór na pole powierzchni pentagramu [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{b^2}{2}\cdot \cos\frac{\alpha}{3}=\frac{b^2}{2}\cdot \cos 36^\circ=\frac{c^2}{2\cdot\varphi^2}\cdot \cos 36^\circ=\frac{a^4}{2\cdot\varphi^4}\cdot \cos 36^\circ

Również i w zależności [10] swój udział miał wzór [2] i liczba złotego podziału φ.

Pentagram
Rys. 3
Pięciokąt i pentagram.

Opis oznaczeń:

  • A, B, C, D, E, F, G, H, I, J - wierzchołki pentagramu;
  • c, b - odcinki składające się na boki pentagramu;
  • α - kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego;
  • β - kąt wewnętrzny pentagramu;
  • γ - kąt zewnętrzny pentagramu;

Grafika żółwia - rysowanie pięciokąta i pentagramu

W Pythonie znajduje się moduł turtle, który umożliwia kreślenie figur geometrycznych. Oto kod programu, który wykreśli pięciokąt foremny:

Listing 1
  1. import turtle as tr
  2. L = 100
  3. tr.pensize(10)
  4. for i in range(5):
  5. tr.forward(L)
  6. tr.left(360 / 5)

Z kolei pentagram można wykreślić w sposób następujący:

Listing 2
  1. import turtle as tr
  2. L = 100
  3. tr.pensize(10)
  4. for i in range(5):
  5. tr.forward(L)
  6. tr.left(180 - 36)

Można też wykreślić pentagram wraz z pięciokątem:

Listing 3
  1. import turtle as tr
  2. L = 100
  3. tr.pensize(10)
  4. for i in range(5):
  5. tr.forward(L)
  6. tr.left(360 / 5)
  7. l = 1.6180339887 * L
  8. tr.left(36)
  9. tr.pencolor((1.,0,0))
  10. for i in range(5):
  11. tr.forward(l)
  12. tr.left(180 - 36)

Więcej na temat pisania programów w Pythonie oraz na temat grafiki żółwia można poczytać na stronie Programowanie → Podstawy Pythona → Grafika żółwia.

Komentarze