Czworokąty - podstawowe typy i wzory

Stronę tą wyświetlono już: 74069 razy

Podstawowe typy czworokątów

W świecie czworokątów znajdują się takie, które ze względu na swój kształt i częstość występowania w obliczeniach zostały wyróżnione nazwami własnymi. Do tego typu czworokątów należą:

• kwadraty
• prostokąty
• romby
• równoległoboki
• trapezy
  • różnoramienne
  • równoramienne
  • prostokątne
• deltoidy
  • wypukłe
  • wklęsłe

Wszystkie kształty czworokątów można zobaczyć na rysunku 1 poniżej.

Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta jest zawsze równa 360° lub 2·π.

Czworokąty mogę być w odróżnieniu od trójkątów wklęsłe lub wypukłe, istnieje również możliwość utworzenia czworokąta złożonego (samoprzecinającego się).

Podstawowe wzory

Kwadraty

Kwadrat należy do rodziny wielokątów foremnych i jako taki spełnia następujące cechy wielokątów foremnych:

• wszystkie długości jego boków są takie same;
• na jego wierzchołkach da się opisać okrąg;
• w jego wnętrze da się wpisać okrąg;
• wszystkie kąty wewnętrzne kwadratu mają taką samą wartość i wynoszą 90°

Obwód kwadratu (jak możecie się domyślić) jest więc równy:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=4\cdot a

Pole powierzchni kwadratu jest równie łatwo obliczyć z następującego wzoru:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=a^2

Ponieważ kwadrat ma również dwie przekątne d, których długość jest równa:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=a\cdot\sqrt{2}

dlatego też można napisać wzór na pole powierzchni kwadratu związany z przekątną, przyjmujący postać następującą:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{d^2}{2}

Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_{o}=\frac{d}{2}=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}

Natomiast promień okręgu wpisanego w kwadrat wynosi:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_w=\frac{a}{2}

Większość tych wzorów wynika z samej ilustracji kwadratu, którą poniżej zamieszczam.

Miejsce przecięcia się przekątnych kwadratów S_c nazywa się środkiem jego ciężkości, który leży w połowie jego szerokości i wysokości, które są równe długości jego boku a.

Prostokąty

Prostokąt to figura płaska, której kąty wewnętrzne (tak jak w przypadku kwadratu) są równe 90°, a pary przeciwległych boków mają taką samą długość a i b. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest więc kwadrat, gdy długości par boków spełniają warunek a=b.

Obwód prostokąta (jak to zawsze bywa) jest sumą długości jego boków, co można zapisać za pomocą następującego wzoru:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=2\cdot a+2\cdot b

Pole powierzchni prostokąta z kolei opisuje następujący niezwykle trudny do zapamiętania wzór:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=a\cdot b

Każdy prostokąt ma dwie przekątne d, których długości są sobie równe i wynoszą:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=\sqrt{a^2+b^2}

Na prostokącie (co z resztą widać na rysunku 2 widać) można opisać okrąg, którego promień R_o jest równy:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_o=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}

Środek ciężkości prostokąta tak jak w przypadku kwadratu wyznacza punkt przecięcia się dwóch jego przekątnych lub innymi słowy, środek ciężkości prostokąta leży w połowie jego szerokości i połowie jego wysokości.

Romby

Romb to czworokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość tak jak ma to miejsce w przypadku kwadratu, natomiast w odróżnieniu od kwadratu jego kąty wewnętrzne dzielą się na dwie pary α i β; których suma jest zawsze równa:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha+\beta=180^\circ

W przypadku, gdy α=β romb jest kwadratem.

Obwód rombu (jak można się domyślić) jest równy:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=4\cdot a

Natomiast aby obliczyć pole powierzchni rombu trzeba znać długość jego boku a oraz wysokość h:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=h\cdot a

Pole powierzchni rombu, gdy dana jest wartość mniejszego kąta α i długość boku a:

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=a^2\cdot\sin\alpha

Gdy dany jest kąt β wystarczy skorzystać ze wzoru:

[15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=a^2\cdot\sin\left(180^{\circ}-\beta\right)

Przekątne rombu mają różne długości i przecinają się pod kątem prostym. Znając ich długości można obliczyć pole powierzchni rombu z następującego wzoru:

[16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot P_k\cdot P_d

gdzie:

• P_k - długość przekątnej krótszej;
• P_k - długość przekątnej dłuższej.

Na rombie nie da się opisać okręgu, gdy α≠β, ale zawsze można weń wpisać okrąg, którego promień jest równy:

[17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_w=\frac{h}{2}=\frac{a}{2}\cdot\sin\alpha

Środek ciężkości S_c rombu wyznacza punkt przecięcia się jego przekątnych, który leży w połowie jego wysokości i w połowie jego szerokości wynoszącej a+a·cos α.

Równoległobok

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe pary boków mają taką samą długość (jak w prostokącie) i spełniają one warunek równoległości. Pary owych boków mają różne długości a i b. Kąty wewnętrzne równoległoboku dzielą się na dwie pary α i β, które (tak samo jak w rombie) spełniają równość [11]. Gdy kąty α i beta; są sobie równe, to równoległobok jest prostokątem. Gdy długości boków a i b są równe to równoległobok jest rombem, natomiast gdy dodatkowo jeszcze kąty α i beta; są sobie równe, wtedy równoległobok jest kwadratem.

Obwód równoległoboku można obliczyć z następującego wzoru:

[18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=2\cdot a+2\cdot b

Pole powierzchni równoległoboku można wyliczyć znając długości jego boku a oraz wysokość h na ten bok spuszczonej:

[19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=a\cdot h

Pole powierzchni równoległoboku można również wyliczyć znając długości jego boków a i b oraz wartość mniejszego kąta α za pomocą takiego oto wzoru:

[20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=a\cdot b\cdot \sin\alpha

Znając długość mniejszego kąta zawartego pomiędzy przekątnymi P_k i P_d, których długości również są znane można obliczyć pole powierzchni takiego równoległoboku:

[21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot P_k\cdot P_d\cdot\sin\gamma

Znając współrzędne kolejnych sąsiadujących z sobą wierzchołków równoległoboku można obliczyć jego pole powierzchni w następujący sposób (dla wierzchołków A, B i C):

[22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\left|\left(\vec{A}-\vec{B}\right)\timesleft(\vec{C}-\vec{B}\right)\right|=\left|\Detleft(\vec{A}-\vec{B}, \vec{C}-\vec{B}\right)\right|

Zrozumienie powyższego wzoru wymaga znajomości podstaw rachunku wektorowego, który opisany został w dużej mierze przeze mnie w dziale Matematyka → Wektory.

Środek ciężkości S_c równoległoboku wyznacza punkt przecięcia się jego przekątnych i leży on w połowie jego wysokości h i połowie jego całkowitej szerokości, która jest równa a+b·cos α.

Trapezy

Trapez to czworokąt, którego dwa przeciwległe boki (nazywane podstawami) są równoległe, a suma kątów leżących przy danym jego ramieniu jest zawsze równa 180°.

Dla trapezu, który ma różne długości ramion obwód wynosi:

[23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=a+b+c+d

gdzie:

• a - długość dłuższej podstawy trapezu;
• b - długość krótszej podstawy trapezu;
• c, d - długości ramion trapezu

Pole powierzchni dla tego samego typu trapezu można obliczyć znając długości podstaw a i b oraz (opcjonalnie) kąt α i długość leżącego przy nim ramienia c lub kąt β oraz długość leżącego przy nim ramienia d:

[24]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+b\right)\cdot c\cdot \sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\left(a+b\right)\cdot d\cdot \sin\beta

Znając długości podstaw a i b trapezu i jego wysokość można obliczyć jego pole powierzchni z wzoru następującej postaci:

[25]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+b\right)\cdot h

Znając długości poszczególnych boków trapezu, można wyliczyć jego pole powierzchni z następującego wzoru:

[26]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{4}\cdot \frac{a+b}{a-b}\cdot \sqrt{(a-b)+c+d}\cdot \sqrt{(a-b)+c-d}\cdot \sqrt{(a-b)-c+d}\cdot \sqrt{-(a-b)+c+d}

gdzie:

• a - długość dłuższej podstawy trapezu;
• b - długość krótszej podstawy trapezu;
• c, d - długości ramion trapezu

Powyższy wzór jest spełniony dla a>b a dla b=0 upraszcza się on do postaci wzoru Heroda i trójkąta.

Pole powierzchni trapezu równoramiennego, dla którego dana jest długość przekątnych p oraz kąt φ zawarty pomiędzy nimi oblicza wzór:

[27]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{p^2}{2}\cdot\sin\varphi

Powyższy wzór sprawdza się tylko w przypadku trapezów równoramiennych, ponieważ dla wszystkich innych trapezów długości ich przekątnych nie są sobie równe. Trapez równoramienny jest jedynym typem trapezu, na którym można opisać okrąg.

Jak widać na rysunku 7 wszystkie symetralne boków trapezu równoramiennego przecinają się w jednym punkcie S_o, stanowiącym środek okręgu opisanego na tymże trapezie. Wyznaczenie promienia R_o nie jest jednak proste, gdyż wymaga rozwiązania trzech układów równania okręgu dla dowolnych trzech wierzchołków rozpatrywanego trapezu, dzięki czemu można by było obliczyć położenie środka okręgu S_o oraz jego promienia R_o. Wzór ten wyprowadziłem swego czasu i użyłem w moim programie, który dostępny jest na stronie Programowanie → Algorytmy obliczeniowe → Obliczenie środka okręgu przechodzącego przez trzy punkty. Na tej samej stronie znajdują się wyprowadzone wzory na środek okręgu (w rozpatrywanym tutaj przypadku S_o), którego znajomość daje podstawę do obliczenia promienia R_o.

Istnieje jeszcze trzeci wyróżniony typ trapezu, który ma co najmniej dwa kąty proste znajdujące się przy tym samym ramieniu. W takim przypadku wysokość h takiego trapezu jest równa długości ramienia d leżącego przy kącie prostym (co widać na rysunku 8). Trapez można traktować jako pewne uogólnienie takich figur płaskich jak: kwadrat, prostokąt, romby czy równoległobok, ponieważ wszystkie te figury spełniają warunek równoległości co najmniej jednej pary boków przeciwległych.

Czas porozmawiać o szczególnym rodzaju trapezu, który można wyróżnić we wszystkich wcześniej wymienionych jego typach. Mowa jest tutaj o trapezach, w których wnętrze da się wpisać okrąg. Długości boków trapezów tego typu w ogólnej postaci (czyli dla dowolnych danych kątów α i β ramion c i d oraz promienia R_w) dają się opisać zależnością od owych kątów i promienia. Zależności te postaram się wyprowadzić w miarę jak najbardziej jasny sposób korzystając z rysunku 9.

Konstrukcję z rysunku 9 można wykreślić za pomocą linijki i cyrkla zaczynając od narysowania prostej p, obrania na niej dowolnego punktu S_w, z którego to należy wykreślić okrąg o promieniu R_w. Okrąg ten będzie oczywiście okręgiem wpisanym w trapez. Teraz należy korzystając z konstrukcji kreślenia prostych równoległych (opisanej na stronie Geometria wykreślna → Podstawowe konstrukcje → Kreślenie prostych równoległych) wyznaczyć proste q i s.

Z punktu S_w należy poprowadzić dwie półproste k i o pod dowolnym kątem ostrym względem prostej p. Należy zaznaczyć punkty przecięcia się półprostych k i s z okręgiem wpisanym literami H i F, a następnie poprowadzić proste prostopadłe do półprostych k i o w tychże punktach.

Owe proste m i n wyznaczają następujące punkty przecięcia: prosta m: punkty A; E i F; prosta n punkty: D; F i C, gdzie dla osoby kreślącej taki trapez istotne są punkty A; B; C i D stanowiące wierzchołki trapezu.

W celu wyprowadzenia wzorów, które umożliwią wyliczenie długości boków a, b, c i d na rysunku 9 poprowadzone zostały dwie proste t i w, które są prostopadłe do prostej p i przechodzą: prosta t przez punkt E; prosta w przez punkt F. Nietrudno teraz jest zauważyć, że prosta t tworzy dwa trójkąty przystające: AEP i BES. O tym jak można stwierdzić, że dane dwa trójkąty są przystające pisałem na stronie Matematyka → Geometria → Podobieństwo trójkątów i trójkąty przystające. To samo dotyczy prostej w, która z kolei tworzy dwa następujące trójkąty przystające: DFQ i CFR. Wszystkie te trójkąty są trójkątami prostokątnymi, dla których znany jest jeszcze jeden kąt α w przypadku trójkątów związanych z prostą t i β dla trójkątów związanych z prostą w.

Ponieważ odcinek PS ma długość równą 2·R_w a odcinek EP stanowi połowę odcinka PS przeto ramię c jest równe dwukrotności długości odcinka AE (wynika z praw proporcji). Z tego też płynie wniosek niezbity, że długość ramienia c można obliczyć z następującego wzoru:

[28]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

c=2\cdot R_w\cdot \sin\alpha

Analogicznie w przypadku ramienia d:

[29]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

d=2\cdot R_w\cdot \sin\beta

Aby wyliczyć długości podstaw a i b trapezu, trzeba najpierw wyznaczyć długość odcinków ES_w oraz S_wF, które składają się na długość odcinka EF. Długość odcinka ES_w należy wyliczyć z trójkąta prostokątnego S_wEH, w którym to kąt zawarty pomiędzy ramieniem ES_w jest równy α, co umożliwia obliczenie szukanej długości odcinka ES_w:

[30]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|ES_w\right|=\frac{R_w}{\sin\alpha}

Z trójkąta S_wFL można wyliczyć długość boku S_wF wiedząc, że kąt zawarty pomiędzy ramionami S_wF i FL jest równy β. Ostatecznie więc szukany wzór przyjmuje postać następującą:

[31]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|S_wF\right|=\frac{R_w}{\sin\beta}

Długość odcinka EF jest więc równa:

[32]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|EF\right|=\left|ES_W\right|+\left|S_wF\right|=\frac{R_w}{\sin\alpha} +\frac{R_w}{\sin\beta}

Zanim przejdę do dalszego wyznaczania wzoru na długość podstaw a i b trapezu, warto nadmienić, że długość odcinka EF jest równa połowie sumy ramion trapezu a ta występuje przecież w ogólnym wzorze [25] na pole powierzchni trapezu. Z tego wniosek nasuwa się sam, że pole powierzchni trapezu, w który da się wpisać okrąg o promieniu R_w i którego kąty α i β są dane można obliczyć z następującego wzoru:

[33]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\left(\frac{R_w}{\sin\alpha} +frac{R_w}{\sin\beta}\right)\cdot h=2\cdot {R_w}^2\cdot\left(\frac{1}{\sin\alpha} +\frac{1}{\sin\beta}\right)

W powyższym wzorze h zostało zastąpione przez 2·R_w, co wynika z rysunku 9.

Dłuższa podstawa a trapezu dzieli się na trzy odcinki: AP, PQ i QD, z czego odcinek PQ jest równy odcinkowi EF, którego długość jest dana zależnością [32]. Pozostaje więc wyznaczenie długości odcinka AP z trójkąta prostokątnego APE stosując wzór trygonometryczny na tangens kąta α:

[34]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|AP\right|=\frac{R_w}{\tan\alpha}

Podobnie z trójkąta DFQ można wyliczyć długość odcinka QD:

[35]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|QD\right|=\frac{R_w}{\tan\beta}

Ostatecznie więc długość dłuższej podstawy a trapezu, w który da się wpisać okrąg o promieniu R_w i którego kąty α i β są znane wynosi:

[36]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a=\left|AP\right|+\left|PQ\right|+\left|QD\right|=\frac{R_w}{\tan\alpha}+\frac{R_w}{\sin\alpha} +\frac{R_w}{\sin\beta}+\frac{R_w}{\tan\beta}=R_w\cdot\left(\frac{1}{\tan\alpha}+\frac{1}{\sin\alpha} +\frac{1}{\sin\beta}+\frac{1}{\tan\beta}\right)

W podobny sposób można wyznaczyć długość krótszej podstawy b trapezu. W tym jednak przypadku należy zauważyć, że długość odcinka SR pomniejszona o długości odcinków SB i CR jest równa długości c. Tak się szczęśliwie składa, że długość odcinka SB jest równa długości odcinka EF, natomiast długość odcinka SB jest równa długości odcinka AP ponieważ trójkąty APE i BSE są przystające. Również długość odcinka CR jest znana, ponieważ trójkąty CRF i DFQ są przystające, a więc odcinek CR ma długość równą długości odcinka QD. Teraz można napisać następującą zależność długości krótszej podstawy c trapezu od promienia R_w okręgu wpisanego w ten trapez oraz kątów α i β.

[37]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b=\left|SR\right|-\left|SB\right|-\left|CD\right|=\frac{R_w}{\sin\alpha} +\frac{R_w}{\sin\beta}-\frac{R_w}{\tan\alpha}-\frac{R_w}{\tan\beta}=R_w\cdot\left(\frac{1}{\sin\alpha} +\frac{1}{\sin\beta}-\frac{1}{\tan\alpha}-\frac{1}{\tan\beta}\right)

Deltoidy

Deltoidy - to czworokąty, które składają się z dwóch par boków a i b, gdzie (w odróżnieniu od prostokątów) boki o takich samych długościach mają wspólny wierzchołek. Każdy deltoid ma dwie przekątne: p_AB - leżącą przy wierzchołkach A i B, w których łączą się boki deltoidu o takich samych długościach; p_CD - łączącej wierzchołki C i D, w których łączą się boki deltoidu o różnych długościach. Przekątne deltoidów zawsze przecinają się (lub ich przedłużenia przecinają się) pod kątem prostym.

Deltoidy mogą być wklęsłe lub wypukłe. Gdy kąt wewnętrzny α zawarty pomiędzy krótszymi bokami a deltoidu jest większy od 180° to taki deltoid jest wklęsły, w przeciwnym przypadku deltoid jest wypukły.

W każdy wypukły deltoid można wpisać okrąg o promieniu R_w. Istnieje tylko jeden szczególny rodzaj deltoidu, na którym można opisać okrąg jest to deltoid o bokach a=b i wszystkich kątach wewnętrznych równych 90°. Nie trudno się domyślić, że taki deltoid jest kwadratem.

Szczególnymi postaciami deltoidu są: kwadrat i romb.

Obwód deltoidu to suma długości jego boków:

[38]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=2\cdot a+2\cdot b

Długość boków deltoidu można obliczyć znając kąty α i β oraz długość przekątnej P_CD za pomocą następujących wzorów:

[39]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a=\frac{P_{CD}}{2\cdot\sin\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)}

[40]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b=\frac{P_{CD}}{2\cdot\sin\left(\cfrac{\beta}{2}\right)}

Podstawiając zależności [39] i [40] do wzoru [38] można uzyskać nową postać wzoru na obwód deltoidu, który z najdzikszą wręcz rozkoszą zamieszczam poniżej:

[41]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=P_{CD}\cdot\left[\frac{1}{\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)}+\frac{1}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right]

Znając długości boków a i b oraz wartości kątów α i β można obliczyć pole powierzchni deltoidu z następującego wzoru:

[42]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot b^2\sin\beta

Powyższy wzór można zastąpić następującą wersją:

[43]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot \acdot b\cdot \sin\gamma

gdzie kąt γ można wyznaczyć z następującej zależności:

[44]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha+\beta+2\cdot\gamma=360^\circ

Ostatni wzór, na pole powierzchni, gdy dane są długości przekątnych p_AB i p_CD deltoidu ma postać następującą:

[45]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot P_{AB}\cdot P_{BD}

Promień okręgu wpisanego R_w można wyznaczyć znając długość przekątnej p_CD i kątów α oraz γ z następującej zależności:

[46]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R_w=\frac{P_{CD}\cdot \sin\left(\cfrac{\gamma}{2}\right)}{2\cdot\cos\left(\cfrac{\gamma+\alpha-180^\circ}{2}\right)}

I to by było na tyle, jeżeli chodzi o wzory związane z deltoidami, poniżej jeszcze zamieszczam ilustrację przykładowych deltoidów.

Czworokąty - ostateczne starcie

Na koniec pragnę zamieścić dwa wzory, wykorzystujące rachunek wektorowy, a które umożliwiają obliczenie obwodu i pola powierzchni każdego czworokąta prostego. Dane, jakie trzeba posiadać to współrzędnej wierzchołków A, B, C i D.

Tak więc obwód można obliczyć z następującego wzoru:

[47]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=\left|\vec{B}-\vec{A}\right|+\left|\vec{C}-\vec{B}\right|+\left|\vec{D}-\vec{C}\right|+\left|\vec{A}-\vec{D}\right|

Pole powierzchni natomiast można obliczyć z wzoru:

[48]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot\left|\left(\vec{B}-\vec{A}\right)\times\left(\vec{C}-\vec{A}\right)+\left(\vec{C}-\vec{A}\right)\times\left(\vec{D}-\vec{A}\right)\right|