Trójkąty - podstawowe cechy i wzory

Stronę tą wyświetlono już: 1457 razy

Opis podstawowych wielkości charakterystycznych trójkątów

Trójkąty są podstawowymi jednostkami figur geometrycznych prostokreślnych płaskich, co oznacza, że każdy wielokąt płaski da się podzielić na trójkąty elementarne, które będą się nań składały.

Każdy trójkąt opisują następujące właściwości:

  • długości boków - oznaczane małymi literkami a, b i c;
  • miary kątów wewnętrznych - oznaczane małymi literkami alfabetu greckiego α, β i γ;
  • wierzchołki trójkąta - oznaczane literami dużymi A, B i C;
  • wysokości - oznaczane (przynajmniej przeze mnie) literką h z indeksem odnoszącym się do wierzchołka, z którego dana wysokość została spuszczona i boku, na który została spuszczona. A więc hA-a, hB-b i hC-c
  • promień i środek okręgu wpisanego w trójkąt - oznaczane przez RW oraz SW;
  • promień i środek okręgu opisanego na trójkącie - oznaczone przez RO oraz SO
trójkąt z oznaczeniami kątów
Rys. 1
Przykładowy trójkąt z naniesionym oznaczeniami boków, wierzchołków i kątów.

Wysokości trójkątów są bardzo ważnymi ich cechami, albowiem znajomość długości jednej z nich oraz długości boku, na który ta wysokość została spuszczona umożliwia obliczenie pola powierzchni takiego trójkąta. Wysokość trójkąta jest to najkrótsza odległość jaką dzieli dany wierzchołek np. A do boku trójkąta a, którego dowolny koniec nie przynależy do wierzchołka A.

trójkąt z oznaczeniami wysokości
Rys. 2
Trójkąt z oznaczeniami występujących w nim wysokości.

Z rysunku 2 widać, że każda wysokość spuszczona na dany bok trójkąta tworzy z tym bokiem kąt prosty, albowiem jest to warunkiem znalezienia najkrótszej możliwej odległości dzielącej dany wierzchołek od danego boku trójkąta.

Nie trudno jest zauważyć, że wszystkie wysokości przecinają się w jednym punkcie, który nazywany jest ortocentrum trójkąta. Położenie ortocentrum jest ściśle związane z typem trójkąta i tak dla:

  • trójkąta ostrokątnego - ortocentrum leży wewnątrz tegoż trójkąta. W szczególnym przypadku trójkąta równoramiennego punkt barycentrum leży na symetralnych kątów i boków tegoż trójkąta;
  • trójkąta prostokątnego - ortocentrum leży u zbiegu boków, pomiędzy którymi zawarty jest kąt 90°;
  • trójkąta rozwartokątnego - ortocentrum leży poza obrębem trójkąta

W każdy trójkąt można wpisać jeden i tylko jeden okrąg, którego położenie środka wyznaczają sieczne kątów wewnętrznych jak widać to na rysunku 3.

trójkąt - sieczne kątów
Rys. 3
Trójkąt - sieczne kątów wyznaczające środek SW okręgu wpisanego w ów trójkąt

Wzór na promień r okręgu wpisanego w trójkąt dowolny jest następujący:

Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt dowolny, gdy dane jest pole powierzchni i długości boków tego trójkąta [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

r=\frac{2\cdot P}{a+b+c}

gdzie:

  • a, b, c - długości boków trójkąta;
  • P - pole powierzchni trójkąta

Długość promienia RW okręgu wyznaczyć można poprzez spuszczenie punktu SW na dowolny bok danego trójkąta (wszystkie odległości w ten sposób uzyskane są sobie równe).

Na trójkącie można również opisać jeden i tylko jeden okrąg, którego środek wyznaczają symetralne jego boków, tak jak widoczne jest to na rysunku 4.

trójkąt - sieczne kątów
Rys. 4
Trójkąt - sieczne boków wyznaczające środek SO okręgu opisanego na owym trójkącie.

Wzór na promień R okręgu opisanego na trójkącie dowolnym:

Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie dowolnym, gdy dane są długości boków i pole powierzchni tego trójkąta [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot P}

gdzie:

  • a, b, c - długości boków trójkąta;
  • P - pole powierzchni trójkąta

lub

Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie dowolnym, gdy dane są długości boków i kąty wewnętrzne [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

R=\frac{a}{2\cdot \sin\alpha}=\frac{b}{2\cdot\sin\beta}=\frac{c}{2\cdot\sin\gamma}

gdzie:

α, β, γ - kąty znajdujące się naprzeciw boków (kolejno): a, b i c.

Promień RO określa odległość dzielącą punkt SO od dowolnego wierzchołka takiego trójkąta.

Pod względem długości boków i miary kątów wewnętrznych trójkąty można podzielić na:

  • równoboczne;
  • równoramienne;
  • ostrokątne (wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze od 90°);
  • prostokątne (jeden kąt wewnętrzny jest równy 90° a pozostałe mniejsze);
  • rozwartokątne (jeden kąt wewnętrzny jest większy od 90° a pozostałe mniejsze)
Różne typy trójkątów
Rys. 5
Przykłady trójkątów: a) równoboczny; b) prostokątny; c) ostrokątny; d) rozwartokątny

Podstawowe wzory

Obliczanie obwodu trójkąta

Nie będzie wielkim zaskoczeniem fakt, że obwód trójkąta można obliczyć sumując długości jego boków a, b i c za pomocą następującego niezwykle trudnego wzoru:

Wzór na obwód trójkąta, gdy dane są długości jego boków [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=a+b+c

Aczkolwiek, możliwe jest również obliczenie tego samego, gdy dane są współrzędne wierzchołków takiego wektora. W takim albowiem przypadku można użyć wzoru następującej postaci:

Wzór na obwód trójkąta, gdy dane są punkty położenia jego wierzchołków [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

L=\left|\vec{A}-\vec{B}\right|+\left|\vec{B}-\vec{C}\right|+\left|\vec{C}-\vec{A}\right|

Obliczanie pola powierzchni trójkąta

Dla dowolnego trójkąta można obliczyć jego pole powierzchni znając długość boku a i wysokości hA-a nań spuszczonej za pomocą następującego wzoru:

Pole powierzchni trójkąta, gdy dana jest długość boku i wysokości spuszczonej na ten bok [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot h_{A-a}\cdot a

Znając współrzędne wierzchołków A, B i C trójkąta można obliczyć jego pole powierzchni korzystając z następującego wzoru:

pole powierzchni, gdy dane są współrzędne wierzchołków trójkąta [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(\vec{A}-\vec{B}\right)\times\left(\vec{C}-\vec{B}\right)\right|

Znając wartość kąta γ zawartego pomiędzy bokami a i b o znanych długościach tych boków można również obliczyć pole powierzchni takiego trójkąta z następującego wzoru:

Wzór na pole powierzchni trójkąta, gdy dany jest kąt zawarty pomiędzy bokami, których długość jest dana [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin\gamma

Znając obwód L trójkąta oraz jego kąty wewnętrzne α, β i γ można obliczyć pole powierzchni w następujący sposób:

Wzór na pole powierzchni trójkąta, gdy dany jest obwód i wartości kątów wewnętrznych tego trójkąta [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\left(\frac{L}{2}\right)^2\cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\cdot \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)

Znając obwód L i promień RW okręgu wpisanego w trójkąt pole powierzchni obliczyć można z wzoru:

Wzór na pole powierzchni trójkąta, gdy dany jest obwód długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{L}{2}\cdot R_{W}

Znając promień RW okręgu wpisanego w trójkąt oraz wartości kątów α, β oraz γ można obliczyć pole powierzchni trójkąta z wzoru:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}={R_{W}}^2\cdot \ctg\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \ctg\left(\frac{\beta}{2}\right)\cdot \ctg\left(\frac{\gamma}{2}\right)

Również znając promień RO okręgu opisanego na trójkącie oraz wartości jego kątów wewnętrznych α, β i γ można obliczyć pole powierzchni trójkąta korzystając z wzoru:

Wzór na pole powierzchni trójkąta, gdy dany jest promień okręgu opisanego i kąty wewnętrzne [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}={R_{O}}^2\cdot \sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma

Znając same tylko długości boków i pamiętając o wzorze [4] można obliczyć pole powierzchni trójkąta w następujący sposób:

Wzór na pole powierzchni trójkąta, gdy dane są długości wszystkich boków [13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\sqrt{\frac{L}{2}\cdot\left(\frac{L}{2}-a\right)\cdot\left(\frac{L}{2}-b\right)\cdot\left(\frac{L}{2}-c\right)}

W trójkącie równobocznym znając długość a jego boków można obliczyć jego pole powierzchni za pomocą wzoru:

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=a^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}

W trójkącie prostokątnym, gdy znane są długości przyprostokątnych a i b pole powierzchni jest równe:

[15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P_{pow}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b

Wzór na sumę kątów

Suma kątów α, β i γ jest w układach euklidesowych zawsze równa 180°, co zapisuję poniżej w postaci wzoru:

[16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}

W trójkącie prostokątnym, gdzie kąt γ przyjmuje wartość 90° można napisać następującą zależność:

[17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\alpha+\beta+90^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow\alpha+\beta=90^\circ

Zależności długości boków i kątów w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym można wyróżnić szereg szczególnych zależności, do których niewątpliwie należy twierdzenie Pitagorasa i jego wzór:

[18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^2+b^2=c^2

Treść twierdzenia Pitagorasa: suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej tego kwadratu.

Trójkąt prostokątny
Rys. 6
Trójkąt prostokątny.

Znane też są stosunki boków trójkąta i ich powiązania mafijne z wartością funkcji trygonometrycznej kąta.

Sinusem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunek przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej c:

[19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sin\alpha=\frac{a}{c}

Kosinusem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunek przyprostokątnej b leżącej przy kącie α do przeciwprostokątnej c:

[20]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\cos\alpha=\frac{b}{c}

Tangensem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunek przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta α do przyprostokątnej b leżącej przy kącie α:

[21]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\tan\alpha=\frac{a}{b}

Kotangensem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunek przyprostokątnej b leżącej przy kącie α do przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta α:

[22]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\ctg \,\alpha=\frac{b}{a}

Środek ciężkości trójkąta

Obliczenie środka ciężkości trójkąta sprowadza się do podzielenia sumy wektorów opisujących położenie jego wierzchołków przez 3:

[23]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\vec{S}_c=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}

Komentarze