Punkt

Stronę tą wyświetlono już: 443 razy

Punkt jest jednostką podstawowa w przestrzeniach n wymiarowych, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych bez zera (ponieważ w przestrzeni 0W trudno określić położenie).

Rozpatrzmy więc położenie dowolnego punktu P1 w układzie 1W, w którym operuje się jedynie na jednej osi. Z tego też wynika, że położenie punktu p1 jest również odległością tegoż punktu od początku osi współrzędnych.

Każda oś współrzędnych musi mieć zaznaczony zwrot, początek (miejsce zerowe) oraz jednostkę podstawową (wartość 1 na owej osi). Na tak narysowanej osi na rysunku 1 można zaznaczyć punkt, którego współrzędną będzie pewna liczba rzeczywista x.

Przykładowa oś przestrzeni 1W i punkt P1
Rys. 1
Przykładowa oś układu 1W i położenie punktu P1.

Ktoś może się spytać, a dlaczego żeś narysował pod kątem tą oś na rysunku 1? Mogłem oczywiście narysować poziomo tę oś, ale chciałem dać do zrozumienia, że oś ta może sobie leżeć dowolnie w przestrzeniach o wyższych wymiarach niż 1.

Wiemy już, jak określa się położenie punktu w układzie 1W, wiemy też, że to położenie jest w tym przypadku również odległością tegoż punktu P1 od początku osi x, a jak będzie w układzie dwuwymiarowym? W przypadku układów 2W niestety położenie punktu od początku układu osi współrzędnych oznaczanych literami X i Y już nie jest dana w taki prosty sposób. W układach 2W dana współrzędna oznacza odległość danego punktu P2 od drugiej osi współrzędnych. Układ osi jest tutaj ustawiony w specyficzny sposób, a mianowicie tak, że kąt pomiędzy nimi jest równy 90° (innymi słowy osie układu 2W są do siebie prostopadłe).

Przykładowy układ osi w przestrzeni 2W
Rys. 2
Przykładowy układ osi w przestrzeni 2W wraz z punktem P2.

Odległość od początku układu współrzędnych XY można obliczyć za pomocą starego dobrego wzoru:

Wzór na odległość punktu od początku układu współrzędnych [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{P_2}\right|=\sqrt{\vec{P}_{2\rightarrow x}\,^2+\vec{P}_{2\rightarrow y}\,^2}

gdzie:

  • |P2| oznacza długość wektora P2;
  • P2->x, P2->y - współrzędne punktu P2

Jakby ktoś jeszcze nie zauważył, punkt P2 jest opisany przez dwie składowe P2->x, P2->y, przez co stanowi on wielkość wektorową.

Zerknijmy okiem jeszcze raz na rysunek 2, gdzie widać, że rzeczywiście składowe P2->x i P2->y określają odległość punktu P2 od osi X i od osi Y.

W przestrzeni 3W położenie punktu P3 zostanie w jednoznaczny sposób określona dzięki użyciu trzech osi również prostopadłych względem siebie. Osie te nazywa się zazwyczaj X, Y oraz Z.

Przykładowy układ osi w przestrzeni 3W
Rys. 3
Przykładowy układ osi w przestrzeni 3W wraz z punktem P3.

Tym razem poszczególne składowe punktu P3 nie oznaczają odległości od osi, nie ma tak łatwo. W tym przypadku określają one odległość punktu P3 od płaszczyzny. Tak więc składowa P3->x określa odległość punktu P3 od płaszczyzny YZ, składowa P3->y od płaszczyzny XZ i składowa P3->z odległość od płaszczyzny XY.

Pytanie na śniadanie brzmi: jak więc obliczyć odległość punktu od danej osi? Odpowiedzią jest w zasadzie wzór [1], który trzeba nieco zmodyfikować. Dla obliczenia odległości od osi X punktu P3 należy użyć następującego wzoru:

Wzór na odległość punktu 3W od osi X [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{P_3}\right|_{\rightarrow X}=\sqrt{\vec{P}_{3\rightarrow y}\,^2+\vec{P}_{3\rightarrow z},^2}

gdzie:

  • |P3|->X - oznaczyłem umownie jako odległość punktu P3 od osi X;
  • P3->y, P3->z - oznaczyłem umownie składowe punktu P3.

W analogiczny sposób można obliczyć odległość punktu P3 od osi Y i Z.

Jeszcze tylko wypiszę ostatni wzór, na odległość punktu P3 od początku układu współrzędnych:

Wzór na odlełość punktu 3W od początku układu współrzędnych [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\left|\vec{P_3}\right|=\sqrt{\vec{P}_{3\rightarrow x}\,^2+\vec{P}_{3\rightarrow y}\,^2+\vec{P}_{3\rightarrow z}\,^2}

gdzie:

  • |P3| oznacza długość wektora P3;
  • P3->x, P3->y, P3->z - współrzędne punktu P3

Komentarze