Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 4700 razy

O tej metodzie już pisałem w dziale Matematyka → Macierze → Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa, z tego też względu pominę omawianie tej metody po raz drugi i przejdę do rozwiązywania konkretnych przykładów.

Zanim jednak, najpierw muszę wspomnieć, że metoda ta polega na tej samej zasadzie co metoda przeciwnych współczynników.

Zadanie 1

Rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi metodą eliminacji Gaussa:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases}2\cdot x-3\cdot y=13 \\ 3\cdot x-2\cdot y=12 \end{cases}

Rozwiązanie:

Tworzę macierz z współczynników i wyrazów wolnych układu równań [1]:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 2 && -3 && 13 \\ 3 && -2 && 12\end{bmatrix}

Etap I Tworzę macierz i redukuję wiersz a_1,1 do jedności dzieląc pierwszy wiersz przez a_1,1:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && -1\cfrac{1}{2} && 6\cfrac{1}{2} \\ 3 && -2 && 12 \end{bmatrix}

Pomnożony wiersz pierwszy mnożę razy a_2,1 i odejmuję od wiersza drugiego:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && -1\cfrac{1}{2} && 6\cfrac{1}{2} \\ 0 && 2\cfrac{1}{2} && -7\cfrac{1}{2}\end{bmatrix}

Etap II dzielę wiersz 2-gi przez a_2,2:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && -1\cfrac{1}{2} && 6\frac{1}{2} \\ 0 && 1 && -3 \end{bmatrix}

Pomnożony wiersz 2-gi przez a_1,2 odejmuję od wiersza pierwszego:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && 0 && 2 \\ 0 && 1 && -3 \end{bmatrix}

Na sam koniec macierz [6] zamieniam na układ równań:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x-0\cdot y=2 \\ 0\cdot x+y=-3\end{cases}

Jak widać metoda ta działa, choć jest ona nieco żmudniejsza od poprzednich.

Zadanie 2

Rozwiązać układ równań z trzema niewiadomymi:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} 3\cdot x-7\cdot y+8\cdot z=1 \\ 17\cdot x+5\cdot y-3\cdot z=2 \\ 5\cdot x-2\cdot y+2\cdot z=0\end{cases}

Rozwiązanie:

Tworzę macierz z współczynników i wyrazów wolnych układu równań [7]:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 3 && -7 && 8 && 1 \\ 17 && 5 && -3 && 2 \\ 5 && -2 && 2 && 0 \end{bmatrix}

Etap I Dzielę pierwszy wiersz przez a_1,1:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && -2\cfrac{1}{3} && 2\cfrac{2}{3} && \cfrac{1}{3} \\ 17 && 5 && -3 && 2 \\ 5 && -2 && 2 && 0\end{bmatrix}

Pierwszy wiersz pomnożony przez a_2,1 odejmuję od wiersza drugiego:

[11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && -2\cfrac{1}{3} && 2\cfrac{2}{3} && \cfrac{1}{3} \\ 0 && 44\cfrac{2}{3} && -48\cfrac{1}{3} && -3\cfrac{2}{3} \\ 5 && -2 && 2 && 0 \end{bmatrix}

Pierwszy wiersz pomnożony przez a_3,1 odejmuję od wiersza trzeciego:

[12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && -2\cfrac{1}{3} && 2\cfrac{2}{3} && \cfrac{1}{3} \\ 0 && 44\cfrac{2}{3} && -48\cfrac{1}{3} && -3\cfrac{2}{3} \\ 0 && 9\cfrac{2}{3} && -11\cfrac{1}{3} && -1\cfrac{2}{3}\end{bmatrix}

Etap II wiersz drugi dzielę przez a_2,2:

[13]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && -2\cfrac{1}{3} && 2\cfrac{2}{3} && \cfrac{1}{3} \\ 0 && 1 && -1\cfrac{11}{134} && -\cfrac{11}{134} \\ 0 && 9\cfrac{2}{3} && -11\cfrac{1}{3} && -1\cfrac{2}{3}\end{bmatrix}

Drugi wiersz pomnożony przez a_1,2 odejmuję od wiersza pierwszego:

[14]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && 0 && \cfrac{19}{134} && \cfrac{19}{134} \\ 0 && 1 && -1\cfrac{11}{134} && -\cfrac{11}{134} \\ 0 && 9\cfrac{2}{3} && -11\cfrac{1}{3} && -1\cfrac{2}{3}\end{bmatrix}

Drugi wiersz pomnożony przez a_3,2 odejmuję od wiersza trzeciego:

[15]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && 0 && \cfrac{19}{134} && \cfrac{19}{134} \\ 0 && 1 && -1\cfrac{11}{134} && -\cfrac{11}{134} \\ 0 && 0 && -\cfrac{117}{134} && -\cfrac{117}{134}\end{bmatrix}

Etap III Dzielę wiersz trzeci przez a_3,3:

[16]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && 0 && \cfrac{19}{134} && \cfrac{19}{134} \\ 0 && 1 && -1\cfrac{11}{134} && -\cfrac{11}{134} \\ 0 && 0 && 1 && 1\end{bmatrix}

Wiersz trzeci przemnożony przez a_1,3 odejmuję od wiersza pierwszego:

[17]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && -1\cfrac{11}{134} && -\cfrac{11}{134} \\ 0 && 0 && 1 && 1\end{bmatrix}

Wiersz trzeci przemnożony przez a_2,3 odejmuję od wiersza drugiego:

[18]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 1 \\ 0 && 0 && 1 && 1\end{bmatrix}

Zamieniam to na układ równań:

[19]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\begin{cases} x+0\cdot y+0\cdot z=0 \\ 0\cdot x+y+0\cdot z=1 \\ 0\cdot x+0\cdot y+z=1\end{cases}}

Ktoś może powiedzieć, że ta metoda jest dość złożona i opiera się na zbyt wielu etapach a więc jest niewydajna, ale ta metoda została przeze mnie wykorzystana w perfidny skądinąd sposób w programie napisanym przeze mnie w języku C++, służącym do rozwiązywania układów równań metodą eliminacji Gaussa. Wystarczy dla przykładu podać na wejście programu następujące wartości:

3 3 -7 8 1 7 5 -3 2 5 -2 2 0

by po chwili program wypluł na ekran rozwiązanie z rozpisaniem poszczególnych etapów przekształcania macierzy:

Przeliczanie macierzy do postaci macierzy jednostkowej: 3 -7 8 1 7 5 -3 2 5 -2 2 0 Etap 1: 1 -2.333333333 2.666666667 0.3333333333 7 5 -3 2 5 -2 2 0 1 -2.333333333 2.666666667 0.3333333333 0 21.33333333 -21.66666667 -0.3333333333 0 9.666666667 -11.33333333 -1.666666667 Etap 2: 1 -2.333333333 2.666666667 0.3333333333 0 1 -1.015625 -0.015625 0 9.666666667 -11.33333333 -1.666666667 1 0 0.296875 0.296875 0 1 -1.015625 -0.015625 0 0 -1.515625 -1.515625 Etap 3: 1 0 0.296875 0.296875 0 1 -1.015625 -0.015625 -0 -0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 -0 -0 1 1

Jak widać, program przeliczył to, co miał do przeliczenia, przekształcił macierz i wypluł wynik rozwiązania wprost na ekran monitora.