Prawdopodobieństwo całkowite

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 13305 razy

Z prawdopodobieństwem całkowitym mamy do czynienia np. 1) przy losowaniu kuli z kilku urn; 2) przy losowaniu ucznia z kilku klas itd. itp.

Twierdzenie:

Jeżeli zdarzenia B₁, B₂, B₃, ...., B_n ⊂Ω i spełniają one warunki:

1) każde dwa zdarzenia parami są rozłączne, tzn. B_i∪B_j=ϕ, gdzie i, j = 1, 2, ..., n i i≠j;

2) B₁∪ B₂∪ B₃∪ .... ∪ B_n =Ω

3) P(B₁)>0 i P(B₂>0 i ... i P(B_n)>0

to dla dowolnego zdarzenia A⊂Ω zachodzi związek:

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P(A)=\sum_{i=1}^{n}{P(A / B_{i})\cdot P(B_{i})}

Schemat dla prawdopodobieństwa całkowitego

schemat drzewa dla prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń — Rys. 1
Schemat drzewa dla prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń

Zadanie 1

W urnie U₁ jest 6 kul białych i 4 kule czarne, a w urnie U₂ znajdują się 4 białe i 8 czarnych. Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba oczek podzielna przez trzy, to losujemy dwie kule z urny U₁ w przeciwnym razie losujemy dwie kule z urny U₂. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.

Rozwiązanie:

Do czynienia mamy tutaj z prawdopodobieństwem całkowitym, składającym się z dwóch etapów:

Etap I - rzut kostką overline{overline{Omega{1}}}=6 :

B₁ - zdarzenie, w którym liczba wyrzuconych oczek jest podzielna przez trzy $overline{overline{B_{1}}}=2$

B₂ - zdarzenie, w którym liczba wyrzuconych oczek jest niepodzielna przez trzy $overline{overline{B_{2}}}=4$

Etap II - losowanie kul z odpowiedniej urny

A - zdarzenie, w którym wylosowano dwie kule białe.

drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń do zadania 1 — Rys. 2
Drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń.

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

P(A / B_{1})\cdot P(B_{1})+P(A / B_{2})\cdot P(B_{2})=\cfrac{2}{6}\cdot\cfrac{6}{10}\cdot\cfrac{5}{9}+\cfrac{4}{6}\cdot\cfrac{4}{12}\cdot\cfrac{3}{11}=\cfrac{17}{99}\approx 17,2\%

Zadanie 2

W pewnej grupie ludzi dane dotyczące płci i koloru oczu pokazują poniższe wykresy.

wykresy do zadania 2 — Rys. 3
Wykresy do zadania

Wybrano losowo jedną osobę, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ma ona zielone oczy?

Rozwiązanie:

Doświadczenie dwuetapowe:

I etap - losowanie osoby ze względu na płeć:

B₁ - zdarzenie, w którym wylosowano chłopaka;

B₂ - zdarzenie, w którym wylosowano dziewczynę

II etap - sprawdzanie koloru oczu wylosowanej osoby

D_n - dziewczyna z niebieskimi oczami;

D_z - dziewczyna z zielonymi oczami oczami;

Ch_n - chłopak z niebieskimi oczami;

Ch_z - chłopak z zielonymi oczami;

[rys} src="rysunki/d_020.png" alt="drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń do zadania 2" nr="3" description="Drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń."[/rys]

A - zdarzenie, w którym wylosowano osobę z zielonymi oczami

$P(A)=P(A backslash B_{1})*P(B_{1})+P(A backslash B_{2})*P(B_{2})={{3}/{5}}*{{1}/{5}}+{{2}/{5}}*{{3}/{10}}={{6}/{25}}=24%$

[3]

Zadanie 3

Uczniowie zorganizowali loterię fantową. Przygotowali 150 wśród których 10 wygrywa. Kupujący los ma do wyboru dwa warianty: I los kupiony z pojemnika, w którym są wszystkie losy; II losy umieszczone są w trzech pojemnikach: zielonym, gdzie znajduje się 47 losów pustych i 5 wygrywających; czerwonym, gdzie znajduje się 45 losów pustych i 5 wygrywających; czarnego, gdzie znajduje się 48 losów pustych i 2 losy wygrywające. Kupujący rzuca kostką, jeżeli wypadnie 6 to losuje z pojemnika czerwonego, jeżeli 5 lub 4 to z zielonego, w pozostałych przypadkach z czarnego. Który z wariantów jest bardziej korzystny dla kupującego?

Rozwiązanie:

Wariant I

Doświadczenie jednoetapowe, overline{overline{Omega}}=150

A - zdarzenie, w którym kupiono los wygrywający, overline{overline{A}}=10

P(A)={{overline{overline{A}}}/{overline{overline{Omega}}}}={{1}/{15}}approx 6,7%

[3]

Wariant II

Doświadczenie dwuetapowe:

Etap I - rzut kostką overline{overline{Omega}}=6 :

B₁ - zdarzenie, w którym wypadło 6 oczek overline{overline{B_{1}}}=1

B₂ - zdarzenie, w którym wypadło 4 lub 5 oczek overline{overline{B_{2}}}=2

B₃ - zdarzenie, w którym wypadło 1, 2 lub 3 oczek overline{overline{B_{3}}}=3

Etap II - losowanie losu z odpowiedniego pudła.

drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń do zadania 3 — Rys. 4
Drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń.

A - zdarzenie, w którym wylosowano los wygrywający.

$P(A)=P(A backslash B_{1})*P(B_{1})+P(A backslash B_{2})*P(B_{2})={{1}/{6}}*{{5}/{50}}+{{2}/{6}}*{{3}/{50}}+{{3}/{6}}*{{2}/{50}}={{17}/{300}}approx 5,7%$