Permutacje bez powtórzeń
Stronę tą wyświetlono już: 10918 razy
A niechaj będzie taki zbiór A={1; 2; 3}, dla którego elementy zbioru B stanowią wszystkie możliwe ułożenia elementów zbioru A. W takim przypadku każdy element zbioru B stanowi permutację bez powtórzeń zbioru A albowiem w zbiorze A nie ma powtarzających się takich samych elementów.
Zbór wszystkich możliwych permutacji stanowi zbiór B, którego elementy wypisane zostały w kolumnie poniżej:
W powyższym przypadku do czynienia mamy z permutacjami bez powtórzeń, dla których wzór na liczebność takiego zbioru można opisać za pomocą następującego wzoru:
gdzie:
- n - oznacza liczebność zbioru A
Stosując wzór [1] do powyższego przypadku otrzymujemy 3! = 6.
Rozwiążmy teraz kilka prostych zadań związanych z permutacjami bez powtórzeń.
Zadanie 1
Oblicz na ile możliwych, niepowtarzalnych sposobów można ustawić na parkingu obok siebie trzy samochody: Porsche, Doodgea Challengera z 1970 oraz Ferrari F50.
Rozwiązanie:
Nasz zbiór podstawowy składa się z 3 elementów a więc liczba możliwych ułożeń naszych cennych samochodów wynosi 3! = 6.
Zadanie 2
Na półce stoi sześciotomowe dzieło, oblicz: a) ile istnieje sposobów ustawienia tomów na półce; b) ile istnieje możliwości ustawienia tomów tak, aby tomy 1, 2 oraz 3 stały zawsze obok siebie w kolejności rosnącej; c) ile istnieje możliwości ustawienia tak, aby pierwsze trzy tomy stały zawsze obok siebie.
Rozwiązanie:
a) Zbiór podstawowy w tym przypadku składa się z n = 6 elementów, a więc podstawiając do wzoru [2] otrzymujemy liczebność permutacji P6=720.
b) W tym przypadku nasz zbiór podstawowy wygląda następująco: A={123; 4; 5; 6}. Liczebność n=4, a więc P4=24.
c) Ostatni przypadek jest nieco trudniejszy. Podstawowy zbór A={1;2;3}. Dla zbioru A można obliczyć liczebność permutacji dla ustawienia obok siebie poszczególnych tomów, która wynosi P3=3!=6. Nas jednak interesuje ułożenie tych tomów w konfiguracji z pozostałymi tomami tego dzieła. Dla przykładu więc zbór B={PA 1;4;5;6} musi zostać rozpatrzony dla każdej permutacji zbioru A z tego też wynika, że liczebność naszego zbioru rozwiązań będzie iloczynem permutacji zbioru 3 elementowego i 4 elementowoego. Innymi słowy rozwiązanie jest następujące:
Zadanie 3
Ile wyrazów, które mają jak i nie mają znaczenia można ułożyć z liter wyrazu PATYK, ułożonych w taki sposób, aby samogłoski nie znajdowały się obok siebie.
Rozwiązanie:
Od liczby wszystkich możliwych ułożeń odjąć wszystkie możliwe permutacje dla wariantu, gdy samogłoski z sobą sąsiadują, a więc w następujący sposób:
Tytuł:
Matematyka w uczeniu maszynowym
Autor:
Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong
Tytuł:
Matematyka dyskretna dla praktyków. Algorytmy i uczenie maszynowe w Pythonie
Autor:
Ryan T. White, Archana Tikayat Ray
Tytuł:
Matematyka w Pythonie. Algebra, statystyka, analiza matematyczna i inne dziedziny
Autor:
Amit Saha
Tytuł:
Matematyka dla menedżerów. Wydanie II
Autor:
Michael C. Thomsett
Tytuł:
Matematyka Poradnik encyklopedyczny
Autor:
I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew
Tytuł:
Matematyka finansowa
Autor:
Jacek Jakubowski, Andrzej Palczewski, Marek Rutkowski, Łukasz Stettner
Tytuł:
Proste jak pi Matematyka to bułka z masłem
Autor:
Liz Strachan
Tytuł:
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty
Autor:
Witold Sadowski, Wiktor Bartol
Tytuł:
Matematyka dla biologów
Autor:
Dariusz Wrzosek
Tytuł:
Matematyka dla programistów Java
Autor:
Jacek Piechota