Zasada zachowania pędu i energii w zderzeniach idealnie sprężystych

Stronę tą wyświetlono już: 281 razy

W zderzeniach centralnych idealnie sprężystych zachowana jest zasada zachowania energii oraz zasada zachowania pędu. Obie te zasady są wykorzystywane do wyznaczania prędkości takich ciał po ich zderzeniu. Na tej stronie opowiem nieco o szczególnym rodzaju tego typu zderzeń, czyli o zderzeniach idealnie sprężystych centralnych. W zderzeniach idealnie sprężystych ale nie centralnych również zasady te są zachowane, jednak wymiana energii i pędu jest uzależniona w takich przypadkach od składowych wektorów prędkości, które są prostopadłe do powierzchni zderzenia owych ciał.

Zacznę więc najpierw od rozpisania równania energetycznego dwóch ciał o masach m1, m2, które przed zderzeniem poruszają się z prędkościami V1-1, V2-1 a po zderzeniu z prędkościami V1-2, V2-2. Trzeba zastosować tutaj oczywiście podstawowy wzór na energię kinetyczną poszczególnych podukładów.

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{1}{2}\cdot m_1\cdot V_{1-1}^2+\frac{1}{2}\cdot m_2\cdot V_{2-1}^2=\frac{1}{2}\cdot m_1\cdot V_{1-2}^2+\frac{1}{2}\cdot m_2\cdot V_{2-2}^2

W równaniu [1] znajdują się aż dwie niewiadome, a są to oczywiście prędkości V1-2 oraz V2-2 tych ciał po zderzeniu. Do ich wyznaczenia potrzebne jest jeszcze jedno równanie i tu z pomocą przychodzi nam zasada zachowania pędu, dla której również można zapisać równanie równowagi sum pędu tych ciał przed zderzeniem i po zderzeniu w następujący sposób:

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

m_1\cdot V_{1-1}+m_2\cdot V_{2-1}=m_1\cdot V_{1-2}+m_2\cdot V_{2-2}

Wykorzystując w bezwzględny sposób równania [1], [2] można wyznaczyć szukane prędkości ciał po zderzeniu, tak jak to zostało zrobione poniżej:

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{1-2}=\frac{m_1-m_2}{m_{1}+m_{2}}\cdot V_{1-1}+\frac{2\cdot m_2}{m_1+m_2}\cdot V_{2-1}

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{2-2}=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\cdot V_{2-1}+\frac{2\cdot m_1}{m_1+m_2}\cdot V_{1-1}

Wystarczy przyjrzeć się nieco bliżej uzyskanym wzorom [3] i [4], aby zauważyć, że jeżeli masy ciał zderzających się są sobie równe (m1=m2), to wzory te upraszczają się do następującej postaci:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{1-2}=V_{2-1}

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

V_{2-2}=V_{1-1}

Innymi słowy, ciała o takich samych masach, które zderzają się z sobą centralnie i idealnie sprężyście wymieniają się wektorami prędkości. To zjawisko jest powszechnie znane i lubiane przez ludzi, którzy grają w bilard. Zasada ta jest wykorzystywania przy tworzeniu programów gier bilardowych.

Komentarze