Graficzne wyznaczanie reakcji podpór belek statycznie wyznaczalnych

Autor podstrony: Krzysztof Zajączkowski

Stronę tą wyświetlono już: 18419 razy

Tym razem pokażę, jak można wyznaczać graficznie reakcje belek obciążonych jedną prostą siłą skupioną P.

Aby wyznaczyć graficznie reakcje podpór trzeba narysować prostokąt o wysokości równej wektorowi siły P zaczynający się na podporze A i kończący się na podporze B. Następnie poprowadzić należy przekątne utworzonego prostokąta. Punkty przecięcia się tych przekątnych wyznaczają wektory reakcji podpór A i B. Dla podpory A jest to przecięcie się przekątnej wychodzącej z tejże podpory i analogicznie dla podpory B.

Powyższe rozwiązanie nawiązuje bezpośrednio do równań równowagi, jakie trzeba by było rozpisać aby matematycznie rozwiązać to zadanie. Chodzi w tym szczególnym przypadku o równanie momentów obrotowych belki względem podpory A i równanie momentów obrotowych względem podpory B, równania te będą miały następującą postać:

$sum{M_B=0}: R_Acdot L-Pcdotleft(L-L_Aright)=0Rightarrow R_A=Pcdotcfrac{L-L_A}{L}$

[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum{M_B=0}: R_A\cdot L-P\cdot\left(L-L_A\right)=0\Rightarrow R_A=P\cdot\cfrac{L-L_A}{L}

$sum{M_A=0}: R_Bcdot L-Pcdot L_A=0Rightarrow R_B=Pcdotcfrac{L_A}{L}$

[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\sum{M_A=0}: R_B\cdot L-P\cdot L_A=0\Rightarrow R_B=P\cdot\cfrac{L_A}{L}

Tak się jakoś składa, nie wiem z jakiego powodu, ale tak się składa, że otrzymane wzory na reakcje podpór R_A i R_B mają wiele wspólnego z tak zwanym twierdzeniem Talesa oraz możliwością jego zastosowania przy graficznym mnożeniu i dzieleniu, o czym rozpisałem się na stronie o Matematyka → Geometria → Twierdzenie Talesa, gdzie warto zwrócić uwagę na wzór [12].

Kolejny, nieco inny przypadek graficznego wyznaczania reakcji belki obciążonych siłą skupioną P, nie znajdującą się pomiędzy podporami tak jak na rysunku 3.

Graficzne wyznaczenie reakcji podpór belki statycznie wyznaczalnej — Rys. 3
Rysunek zadania do graficznego rozwiązania.

Również i w tym przypadku należy narysować prostokąt o wysokości równej sile skupionej P, ale tym razem zaczynający się w punkcie przyłożenia siły a kończący się na podporze B. Teraz należy od punktu podpory R_B pociągnąć linię przechodzącą na wysokości równej wysokości prostokąta nad podporą R_A. Linię tą należy pociągnąć aż do punktu znajdującego się nad punktem przyłożenia siły skupionej P. Odległość od punktu przyłożenia siły P do końca narysowanej linii to nic innego jak reakcja podpory A. Reakcję podpory B można uzyskać łącząc punktu podpory A z narożnikiem prostokąta znajdującym się nad podporą B. Linię tą tak samo przeciągnąć należy tak, aby pokryła się z punktem przyłożenia siły skupionej P, następnie łącząc ten punkt z końcem uzyskanej linii otrzymuje się reakcję podpory R_B.

Oczywiście i tutaj zastosowana została graficzna zasada dzielenia z mnożeniem trzech wielkości fizycznych.

Kolejne zadanie z samym tylko obciążeniem ciągłym q, dla którego należy obliczyć wektor wypadkowy F_q siły pochodzącej od tegoż obciążenia.

Rys. 5
Rysunek: a) zadania belki z obciążeniem ciągłym; b) zamiana obciążenia ciągłego na wektor siły wypadkowej (zastosowanie konstrukcji graficznego mnożenia); c) wyznaczanie graficzne reakcji **R_A**; d) graficzne wyznaczenie reakcji **R_B**, która w tym przypadku została wyznaczona poprzez dopełnienie do zera wektora wypadkowego reakcji **R_A** i wypadkowej siły **F_q** pochodzącej od obciążenia ciągłego q.

Kolejne proste zadanie belki obciążonej jedynie momentem obrotowym.

Rys. 6
Rysunek belki obciążonej jedynie momentem obrotowym.

Ostatni najbardziej złożony przykład belki obciążonej obciążeniem ciągłym q, siłą czynną F oraz momentem obrotowym M.