Moment pędu punktu materialnego i zasada zachowania momentu pędu

Stronę tą wyświetlono już: 946 razy

Moment pędu vec{m_p} jest iloczynem wektorowym wektora promienia vec{r} i pędu vec{p}:

vec{m_p}=vec{r} cross {vec{p}} [1]

Dla lepszego zrozumienia, wektor momentu pędu vec{m_p} jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektor promienia vec{r} i pędu vec{p}, co pokazane zostało na rysunku 1.

Rysunek pomocniczy, pokazujący zasadę wektorowego obliczania momentu pędu
Rys. 1
Rysunek pomocniczy, pokazujący zasadę wektorowego obliczania momentu pędu mp.

Długość wektora momentu pędu vec{m_p} jest równa iloczynowi długości wektora promienia vec{r}, pędu vec{p} oraz sinusa kąta α zawartego pomiędzy tymi wektorami.

delim{|}vec{m_p}{|}=delim{|}vec{r}{|} *delim{|}vec{p}{|}*sin alpha [2]

W szczególnym przypadku, który mimo wszystko dość często jest rozpatrywany kąt α jest równy 90° a więc zależność [2] upraszcza się wtedy do iloczynu długości wektorów promienia vec{r} oraz pędu vec{p}:

delim{|}vec{m_p}{|}=delim{|}vec{r}{|} *delim{|}vec{p}{|} [3]

Zanim zacznę opowiadać tutaj o zasadzie zachowania pędu i abyście mogli zrozumieć tę zasadę, muszę omówić najpierw pojęcie momentu siły vec{M}, który jest równy iloczynowi skalarnemu wektora promienia vec{r} i siły vec{F}.

vec{M}=vec{r}cross{vec{F}} [4]

Tak jak w przypadku momentu pędu vec{m_p} tak i w przypadku momentu siły vec{M} wartość skalarna jest dana następującą zależnością:

delim{|}vec{M}{|}=delim{|}vec{r}{|}*delim{|}vec{F}{|}*sin alpha [5]

I znów, tak jak w przypadku momentu pędu vec{m_p} tak i w przypadku momentu siły vec{M} wyrażenie [5] upraszcza się, gdy kąt α jest równy 90°:

delim{|}vec{M}{|}=delim{|}vec{r}{|}*delim{|}vec{F}{|} [6]

Skutkiem działania momentu siły vec{M} jest zmiana momentu pędu vec{m_p}, pędu vec{p} ciała jak również prędkości obwodowej vec{V} oraz kątowej vec{omega}. Ponadto można stwierdzić, że gdy siła ma ten sam zwrot i kierunek co wektor pędu vec{p} lub obwodowej prędkości chwilowej ciała vec{V}, to wektor pędu vec{m_p} rośnie, w przeciwnym zaś przypadku maleje.

Rys. 2

Rysunek pomagający określić wpływ momentu siły vec{M} na moment pędu vec{m_p}: a) gdy zwrot i kierunek wektora siły vec{F} jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora pędu vec{m}; b) gdy zwrot wektora siły vec{F} jest przeciwny do wektora pędu vec{p}.

Zmiana pędu po czasie {{d vec{m_p}}/dt} jest równa momentowi siły vec{M}, ponieważ to siła vec{F} powoduje zmianę ruchu a miarą ruchu jest pęd vec{p}, z którym związany jest moment pędu vec{m_p}.

vec{M}={{d vec{m_p}}/dt} [7]

Każdy chyba się ze mną zgodzi, że już najwyższy czas aby porozmawiać o tym, znaczy się o zasadzie zachowania momentu pędu vec{m_p}, którą w matematyczny sposób bo sposoby można zapisać tak:

vec{m_p}=const doubleleftright vec{M}=0 [8]

A po ludzku mówiąc? Po ludzku mówiąc będzie tak: jeżeli moment siły vec{M} działającej na punkt materialny względem pewnego punktu w przestrzeni jest równy zeru to moment pędu vec{m_p} względem tego samego punktu w przestrzeni jest stały.

A teraz pomyślmy, przez chwilę pomyślmy logicznie i zastanówmy się kiedy moment siły vec{M} jest równy zeru? To proste, gdy siła vec{F} jest równa zero. A czy istnieje jeszcze jakiś przypadek, taki w którym siła vec{F} nie jest równa zeru a mimo to moment siły vec{M} jest równy zero? Spójrzmy łaskawym okiem na wzór [5], i zastanówmy się wspólnie. Jest tam współczynnik sin α, prawda? Kiedy ten współczynnik będzie równy zero to i moment siły vec{M} będzie równy zero. Teraz pytanie zagadka: kiedy współczynnik sin α jest równy 0? Odpowiedź brzmi, gdy α jest równe lub gdy jest równe 180°. Innymi słowy, gdy kierunek siły vec{F} pokrywa się z kierunkiem wektora promienia vec{r} to moment siły vec{M} jest równy zero. Siły vec{F}, których kierunek jest taki sam, co wektora promienia vec{r} nazywa się siłami centralnymi.

Skoro moment pędu vec{m_p} nie może ulec zmianie, bez działania na dane ciało siłą, to co się stanie, gdy zmieni się np. promień vec{r}, po którym to ciało się porusza? Ponieważ promień vec{r} się zmniejszył, a moment pędu vec{m_p} pozostał taki sam, to zmianie uległ pęd vec{p} ciała. Z kolei pęd vec{p} to iloczyn masy m ciała i wektora prędkości vec{V}. Masa m ciała jest stała, więc pozostaje tylko się domyślać, że to prędkość vec{V} ulegnie zmianie, a skoro tak, to i prędkość kątowa ω musi ulec zmianie.

Rozważmy więc następującą sytuację: kulka zawieszona na sznurku o długości r przeplecionym przez tulejkę wprawiona została w ruch obrotowy, po czym bez działania już siłą promień ruchu kulki zmniejszono dwukrotnie. Jak zmieni się prędkość liniowa vec{V} i kątowa ω?

Z zasady zachowania pędu skorzystać należy i rozpisać następujące równanie (przyjmuję tutaj, że wektor pędy vec{p} jest prostopadły do wektora promienia vec{r}):

{r} * {p_1}={r/2} * {p_2} [9]

Pęd p jest równy iloczynowi masy m i prędkości V, więc równanie [9] można jeszcze troszeczkę rozpisać:

r * m*V_1={r/2} *m*V_2 [10]

Po odpowiednim przekształceniu i uproszczeniu równania [10] otrzymuje się prędkość liniową V2 po zmniejszeniu promienia r o połowę.

V_2=2*V_1 [11]

Prędkość liniowa wzrosła dwukrotnie, a kątowa ω ile razy? Na to dręczące nas pytanie można odpowiedzieć jedynie stosując wzór na prędkość kątową ω w zależności od prędkości obwodowej V zastosowane w równaniu [10]:

r * m*omega_1*r={r/2} *m*omega_2*{r/2} [12]

Przekształcając otrzymujemy:

omega_2=4*omega_1 [13]

Prędkość kątowa ω2 wzrosła czterokrotnie, a wszystko to dlatego, że promień r zmalał dwukrotnie.

Zasada zachowania momentu pędu vec{m_p} ma również zastosowanie w przypadku ruchu Księżyca wokół Ziemi (jak również innych ciał niebieskich).

Komentarze