Obliczenia układów dynamicznych metodą prac przygotowawczych

Stronę tą wyświetlono już: 931 razy

Zadanie 1

Obliczyć przyspieszenie ac krążka toczącego się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie połączonego za pośrednictwem nieważkiego i nierozciągliwego cięgna z krążkiem, do którego przyłożony został moment obrotowy M będący jedynym czynnikiem wywołujący ruch układu.

Rysunek do zadania 1
Rys. 1
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M.

Dane:

R[m]; Q[N]; M[Nm]

Rozwiązanie:

Na rysunku 1 zaznaczone zostały jedynie podstawowe informacje, bez oznaczenia wektorów liniowego przyspieszenia a, przyspieszeń kątowych ε a także przesunięć prac przygotowawczych układu niezbędnych do ułożenia równania d'Alamberte'a. Innymi słowy trzeba zrobić nowy rysunek z wszystkimi potrzebnymi oznaczeniami (co też i z najdzikszą rozkoszą czynię poniżej).

Rysunek do zadania 1
Rys. 2
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M z uzupełnionymi oznaczeniami.

Zgodnie z wcześniej omawianą teorią, suma iloczynów założonego przesunięcia i sił bezwładności FB oraz iloczynu sił sprawczych i założonego dla nich przesunięcia musi równać się zeru. Ważne jest, żeby pamiętać o kierunku bo wektory przeciwne mają przeciwny znak.

Równanie d'Alamberte'a dla rozpatrywanego układu będzie więc wyglądało następująco:

Po uporządkowaniu powyższego równania otrzymuję:

W powyższym równaniu jest całkiem sporo niewiadomych, do których należą między innymi przemieszczenia. Nie ma jednak powodów do paniki, albowiem pozbyć się ich można korzystając z wzajemnych zależności przemieszczeniowych. Ułożę więc zależność wszystkich przemieszczeń od przemieszczenia δx1 a dlaczego do δx1? Odpowiedź brzmi: bo taki mam kaprys.

Zależność przemieszczenia δφ2 od przemieszczenia δx1:

Zależność przemieszczenia δx2 od przemieszczenia δx1:

Zależność przemieszczenia δφ1 od przemieszczenia δx1:

Podstawić pozostało już tylko do równania [2] zależności przemieszczeniowe [3], [4] oraz [5] otrzymując:

Równanie [6] podzielić obustronnie przez δx1 i uprościć otrzymując tym samym:

Pozostało już tylko opisanie zależności kinetycznych, w celu pozbycia się kolejnych niewiadomych.

Zależność kinetyczne ε2 od ac:

Zależność kinetyczne a2 od ac:

Zależność kinetyczne ε1 od ac:

Podstawienie do równania [7] zależności [8], [9] i [10]:

Po podzieleniu przekształceniu i uproszczeniu otrzymuje się upragnioną wartość ac.

Zadanie 2

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o masie m zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 2
Rys. 3
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania, uzupełnić należy najpierw oznaczenia na rysunku 3 tak jak to zostało wykonane na rysunku 4.

Rysunek do zadania 2
Rys. 4
Rysunek z naniesionymi dodatkowymi informacjami.

Jak widać, na rysunku 4 naniesione już zostały podstawowe zależności przemieszczeń liniowych w zależności od hc oraz liniowych przyspieszeń w zależności od ac co ułatwi rozpisanie równania d'Alamberte'a:

Po uproszczeniu otrzymuje się następującą postać równania [13]:

Zależności przemieszczeń:

Podstawienie do równania [14] zależności [15], [16] i [17]:

Uproszczenie wyrażenia [18]:

Zależności kinetyczne:

Podstawiając zależności [20], [21] i [22] do równania [19] z jednoczesnym uproszczeniem i przekształceniem otrzymuje się szukaną wartość ac:

Zadanie 3

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o ciężarze 4Q zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 3
Rys. 5
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];Q[N]

Rozwiązanie:

Tradycyjnie od uzupełnienia rysunku zacząć trzeba.

Rysunek do zadania 3
Rys. 6
Rysunek układu z naniesionymi oznaczeniami dodatkowymi.

Równanie d'Alamberte'a rozpisać trzeba:

Upraszczając równanie [24] odrobinę otrzymuje się następującą jego postać:

Zależności przemieszczeń:

delta varphi_2=frac{2cdotdelta x_c}{r} /td> [29]

Po podstawieniu do zależności [25] wyrażeń [26] do [30] i uproszczeniu otrzymuje się następujące równanie:

Zależności kinetyczne:

Po podstawieniu do równania [31] zależności [32] do [36], uproszczeniu i przekształceniu otrzymuje się wartość przyspieszenia ac:

Zadanie 4

Obliczyć przyśpieszenie a ciężarka o masie 2m położonego na płaskiej poziomej płaszczyźnie. W układzie należy pominąć tarcie ciężarków o podłoże oraz masę cięgna.

Rysunek do zadania 4
Rys. 7
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg] α=30°

Rozwiązanie:

Naniesienie dodatkowych oznaczeń na rysunku 8.

Rysunek do zadania 4
Rys. 8
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Po raz kolejny trzeba rozpisać równanie d'Alamberte'a:

Po uproszczeniu równania [38] otrzymuje się taką oto jego postać:

Prawda, że ładne równanko wyszło? Zaraz się uprości, gdy tylko rozpisze się przemieszczeń zależności:

Jak uprzednio tak i teraz podstawionko zrobić trzeba, czyli do równania [39] podstawić należy zależności od [40] do [46], co też i z najdzikszą rozkoszą czynię równocześnie upraszczając:

Jakże piękne równanie [46] zawiera kilka niewiadomych, do których pozbycia się należy wykorzystać w perfidny sposób zależności kinetyczne:

I ponownie choć tym razem do równania [47] trzeba zrobić małe podstawienie zależności od [48] do [54], a następnie uprościć je i przekształcić uzyskując wartość przyspieszenia a.

Zadanie 5 - ostatnie starcie

Obliczyć przyśpieszenie a krążka toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej.

Rysunek do zadania 5
Rys. 9
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Rysunek do zadania 5
Rys. 10
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Równanie d'Alamberte'a:

Powyższe równanie, choć piękne to jednak warto conieco uprościć:

Spokojnie, równanie powyższe się uprości, gdy rozpisze się przemieszczeń zależności:

Podstawiając do równania [57] zależności [58] do [64] i upraszczając otrzymuje się następujące równanie:

Piękne powyższe równanie jest, zgodzicie chyba się? Nie? Niektórych ludzi trudno zadowolić, ale dobra to się zmieni gdy rozpisane i podstawione zostaną zależności kinetyczne:

Najwyższy czas do równania [65] podstawić zależności [68] do [72] jednocześnie uproszczając i przekształcając dzięki czemu uzyskuje się wartość przyspieszenia ac.

Komentarze