Obliczenie przyspieszeń układów ciał metodą Newtona

Stronę tą wyświetlono już: 952 razy

Zadanie 1

Obliczyć przyspieszenie ac krążka toczącego się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie połączonego za pośrednictwem nieważkiego i nierozciągliwego cięgna z krążkiem, do którego przyłożony został moment obrotowy M będący jedynym czynnikiem wywołujący ruch układu.

Rysunek do zadania 1
Rys. 1
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M.

Dane:

R[m]; Q[N]; M[Nm]

Rozwiązanie:

Na rysunku 1 zaznaczone zostały jedynie podstawowe informacje, bez oznaczenia wektorów przyspieszenia liniowego, kątowego oraz sił tarcia i siły w cięgnie i podziału na dwa podukłady. Innymi słowy trzeba zrobić nowy rysunek z wszystkimi potrzebnymi oznaczeniami.

Rysunek do zadania 1
Rys. 2
Rysunek układu ciał wprawianych w ruch momentem obrotowym M z uzupełnionymi oznaczeniami.

i drugie równanie dynamiczne ruchu prostoliniowego środka ciężkości krążka toczącego się bez poślizgu:

Ostatnie równanie dynamiczne ruchu obrotowego koła z dla układu I:

Mamy trzy równania, z których dodając odpowiednio stronami można uzyskać jedno równanie pozbawione niewiadomych sił tarcia T i cięgna S1.

W równaniu [4] są trzy niewiadome, z pośród których należy wyznaczyć ac więc konieczne jest zastosowanie tu następujących zależności kinematycznych:

Podstawiając do równania [4] powyższe zależności otrzymujemy:

Zadanie 2

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o masie m zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 2
Rys. 3
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Tradycyjnie jak w poprzednim zadaniu wprowadzić oznaczenia trzeba do układu.

Rysunek do zadania 2
Rys. 4
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Dynamiczne równania ruchu dla poszczególnych układów:

Układ I

Układ II

Układ III

Układ IV

Układ V

Zależności kinetyczne:

Dodawanie równań stronami i podstawienie zależności kinematycznych:

Zadanie 3

Obliczyć przyśpieszenie ac krążka o ciężarze 3Q zawieszonego na nieważkim i nierozciągliwym cięgnie.

Rysunek do zadania 3
Rys. 5
Rysunek układu do zadania.

Dane:

r[m];Q[N]

Rozwiązanie:

Tradycyjnie od uzupełnienia rysunku zacząć muszę.

Rysunek do zadania 3
Rys. 6
Rysunek układu z naniesionymi oznaczeniami dodatkowymi.

Równania dynamiczne ruchu dla poszczególnych podukładów:

Układ I

Zależność kinematyczna:

Równania dynamiczne:

Układ II

Zależność kinematyczna:

Równanie dynamiczne:

Układ III

Układ IV

Zależność kinematyczna:

Równanie dynamiczne ruchu:

Układ V

Zależność kinematyczna:

Równanie dynamiczne ruchu:

Układ VI

Zależność kinematyczna:

Równanie dynamiczne ruchu:

Układ VII

Układ VIII

Redukcja niewiadomych poprzez dodawanie równań stronami:

Zadanie 4

Obliczyć przyśpieszenie a ciężarka o masie 2m położonego na płaskiej poziomej płaszczyźnie. W układzie należy pominąć tarcie ciężarków o podłoże oraz masę cięgna.

Rysunek do zadania 4
Rys. 7
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Rysunek do zadania 4
Rys. 8
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Układ I

Układ II

Układ III

Układ IV

Układ V

Układ VI

Układ VII

Układ VIII

Układ IX

Dodawanie równań stronami

Zadanie 5

Obliczyć przyśpieszenie a krążka toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej.

Rysunek do zadania 5
Rys. 9
Rysunek układu do zadania.

Dane:

R[m];m[kg]

Rozwiązanie:

Uzupełnienie oznaczeń.

Rysunek do zadania 5
Rys. 10
Rysunek układu z uzupełnionymi oznaczeniami.

Układ I

Układ II

Układ III

Układ IV

Układ V

Układ VI

Układ VII

Dodawanie równań stronami:

Komentarze