Masowy moment bezwładności punktu materialnego

Stronę tą wyświetlono już: 1655 razy

Masowy moment bezwładności punktu materialnego

ilustracja do wzoru na masowy moment bezwładności punktu materialnego
[1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z=m\cdot r^2\left[kg\cdot m^2\right]

Masowy moment bezwładności zbioru punktów

ilustracja do wzoru na masowy moment bezwładności zbioru punktów materialnych
[2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z=\sum_{i=1}^{n} m_i\cdot r_i^2\left[kg\cdot m^2\right]

Masowy moment bezwładności bryły sztywnej

[3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z=\int_{(V)}r^2\, dm

gdzie za dm można podstawić:

[4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

dm=\rho\, dV

gdzie:

  • rho - gęstość
  • dV - objętość

ostatecznie podstawiając do wzoru [3] za dm wartość z wzoru [4] otrzymując następujący wzór:

[5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z=\int_{(V)}r^2\cdot \rho \, dV

Zadanie 1

Wyznaczyć wzór na masowy odśrodkowy moment bezwładności walca.

Rysunek walca, którego wzór na masowy moment bezwładności należy wyprowadzić
Rys. 1
Rysunek walca, którego wzór na masowy moment bezwładności należy wyprowadzić.

Rozwiązanie:

Dla walca dV będzie wynosiło:

[6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

dV=2\cdot \pi\cdot r\, dr

Podstawiamy do wzoru [4] za dV wzór [5] i obieramy granice od 0 do R:

[7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z=\int_{0}^{R}r^2\cdot h\cdot \rho \cdot 2\cdot \pi\cdot r\, dr=2\cdot \pi\cdot\rho\cdot h\cdot \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R=\pi\cdot\rho\cdot h\cdot \frac{R^4}{2}

Wzór [7] można uprościć korzystając z następującej zależności:

[8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

m=\rhocdot V=\rhocdot \pi\cdot R^2\cdot h

Ostatecznie podstawiając do wzoru [6] zależność [7] otrzymujemy:

[9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z=\frac{1}{2}\cdot m\cdot R^2

Zadanie 2

Wyznaczyć wzór na masowy odśrodkowy moment bezwładności cylindra.

Rozwiązanie:

Korzystając z wzoru [8] na odśrodkowy moment bezwładności wyznaczyć można moment bezwładności cylindra:

[10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

I_Z=\frac{1}{2}\cdot m\cdot R^2-\frac{1}{2}\cdot m\cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot m\cdot \left(R^2-r^2\right)

Komentarze