Całkowanie numeryczne - metoda trapezów

Stronę tą wyświetlono już: 157 razy

Na stronie Programowanie → Algorytmy obliczeniowe → Całkowanie numeryczne - metoda prostokątów opisana została metoda numeryczna obliczania całki oznaczonej pewnej funkcji f(x) w przedziale od a do b metodą prostokątów. Omawiana tam metoda ma pewną wadę polegającą na dość sporej rozbieżności obliczeniowej przy zastosowaniu małej liczby przedziałów. Całkowanie numeryczne metodą trapezów umożliwia zmniejszenie niedokładności obliczeniowej albowiem w tym przypadku dla elementarnego przedziału oblicza się pole powierzchni trapezu o wysokości Delta x = h = {{b-a}/{i}} oraz długości podstaw f(xi) i f(xi + h) gdzie i - jest liczbą przedziałów.

Ilustracja pokazująca zasadę całkowania numerycznego
Rys. 1
Całkowanie numeryczne metodą trapezów

W językach programowanie takich jak C++ do wykorzystania tego algorytmu konieczne jest zaimplementowanie algorytmu ONP, który powstał jako modyfikacja algorytmu notacji polskiej Jana Łukasiewicza. W przypadku języków skryptowych takich jak PHP czy Python można posłużyć się funkcją eval, której użycie ze względów bezpieczeństwa jest niewskazane.

Oto przykład prostego programu obliczającego tą metodą całkę podanej na wejście funkcji napisany w Pythonie:

Listing 1
  1. #!/usr/bin/env python
  2. def integrate(function, a, b, i):
  3. dx = (b - a) / i
  4. integr = 0
  5. for x in range(i):
  6. x = x * dx + a
  7. fx1 = eval(function)
  8. x += dx
  9. fx2 = eval(function)
  10. integr += 0.5 * dx * (fx1 + fx2)
  11. return integr
  12. def main(args):
  13. function = input("Funkcja: ")
  14. a = float(input("Początek przedziału: "))
  15. b = float(input("Koniec przedziału: "))
  16. i = int(input("Liczba podprzedziałów: "))
  17. print("Całka z funkcji {funkcjon} po przedziale od {a} do {b} = {integrate}".format(funkcjon = function, a = a, b = b, integrate = integrate(function, a, b, i)))
  18. return 0
  19. if __name__ == '__main__':
  20. import sys
  21. sys.exit(main(sys.argv))

Przykład działania dla f(x) = x2, a = 0, b = 1, oraz i = 10:

Funkcja: x**2
Początek przedziału: 0
Koniec przedziału: 1
Liczba podprzedziałów: 10
Całka z funkcji x**2 po przedziale od 0.0 do 1.0 = 0.3350000000000001
Aby kontynuować, naciśnij dowolny klawisz . . .

Jak widać jest to całkiem przyzwoity wynik, tym bardziej, że całkowanie numeryczne metodą prostokątów dawało następujące rezultaty przy takich samych parametrach:

Funkcja: x**2
Początek przedziału: 0
Koniec przedziału: 1
Liczba podprzedziałów: 10
Całka z funkcji x**2 po przedziale od 0.0 do 1.0 = 0.2850000000000001
Aby kontynuować, naciśnij dowolny klawisz . . .

Komentarze