Granica ciągu
Stronę tą wyświetlono już: 281 razy
Wstęp
W celu poprawnego zrozumienia dalszej części tej strony, należy zrozumieć istotę zdania prawie wszystkie wyrazy ciągu
, które oznacza elementy ciągu nieskończonego z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczy wyrazów. Jest to istotne, gdyż w dalszej części tej strony dla uproszczenia (skrócenia) niektórych definicji będę posługiwał się zdaniem prawie wszystkie wyrazy ciągu
.
Granica właściwa ciągu
Liczba q jest granicą ciągu nieskończonego (an), jeżeli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (an), co zapisuje się:
lub
Matematyczny zapis powyższej definicji granicy właściwej ciągu:
![]() | [3] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=g\Leftrightarrow \bigwedge_{\varepsilon> 0}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}|a_n-g|<\varepsilon
Graficzna interpretacja definicji pokazana została na poniższym rysunku, gdzie jak widać poniżej wartości ϵ = 40 znajduje się nieskończona liczba elementów tego ciągu z czego wynika, iż ciąg ten ma granicę właściwą.
Każdy ciąg, który ma granicę właściwą jest ciągiem zbieżnym, natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym.
Granica niewłaściwa ciągu
Ciąg (an) jest rozbieżny → +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie elementy ciągu są większe od M, co zapisuje się:
Zapis matematyczny powyższej definicji:
![]() | [5] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty\Rightleftarrow \bigwedge_{M\in R}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}a_n>M
Poniżej pokazana została interpretacja graficzna powyższej definicji dla przykładowego ciągu. Jak widać prawie wszystkie elementy tegoż ciągu leżą powyżej obranej wartości M = 3. Co ważne, niezależnie od tego jaką wartość przyjmie M i tak zawsze nieskończona liczba elementów tego ciągu będzie się nad nią mieściła.
Ciąg an jest rozbieżny → -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie elementy ciągu są mniejsze od M, co zapisuje się:
Zapis matematyczny powyższej definicji:
![]() | [7] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty\Rightleftarrow \bigwedge_{M\in R}\bigvee_{m\in N^+}\bigwedge_{n> m}a_n
Jeżeli dany jest ciąg (an), dla którego wartości bezwzględnej granica jest równa &infty; dla n → &infty; to granica ciągu odwrotego będzie równa 0 co zapisać można w następujący sposób:
![]() | [8] |
Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a_n}=0
Jeżeli dany jest ciąg (an), którego każdy element jest większy od zera i granica takiego ciągu jest równa zero to granica ciągu odwrotnego tego ciągu będzie równa +∞ co zapisać można w następujący sposób: