Asymptota ukośna funkcji

Stronę tą wyświetlono już: 173 razy

Dana funkcja f(x) ma asymptotę ukośną opisaną funkcją liniową postaci y(x)=a·x+b wtedy i tylko wtedy, gdy granica pochodnej tejże funkcji dla x→+∞ lub dla x→-∞ jest wartością liczbową, która określa jednocześnie wartość współczynnika a funkcji asymptoty ukośnej.

Dla przykładu funkcja:

f(x)=frac{2cdot x^2+4cdot x}{2cdot x+2} [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{2\cdot x^2+4\cdot x}{2\cdot x+2}

ma pochodną:

f'(x)=frac{(4cdot x+4)cdot(2cdot x+2)-(2cdot x^2+4cdot x)cdot 2}{(2cdot x+2)^2}=1+frac{1}{x^2+2cdot x+1} [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=\frac{(4\cdot x+4)\cdot(2\cdot x+2)-(2\cdot x^2+4\cdot x)\cdot 2}{(2\cdot x+2)^2}=1+\frac{1}{x^2+2\cdot x+1}

tak więc granica tejże pochodnej dla x→∞ wynosi:

granica funkcji f'(x) dla x dążącego do + nieskończoności [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a=\lim_{x\rightarrow \infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}1+\frac{1}{x^2+2\cdot x+1}=1+\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}=1

Z powyższego wynika, że współczynnik a będzie równy 1. Współczynnik ten można również wyliczyć w nieco prostszy sposób stosując wzór:

granica funkcji f(x) / x dla x dążącego do +/- nieskończoności [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x}

Obliczenie współczynnika b polega z kolei na obliczeniu następującej granicy:

granica funkcji f(x) - a * x dla x dążącego do + nieskończoności [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b=\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-a\cdot x=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\cdot x^2+4\cdot x}{2\cdot x+2}-x=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\cdot x^2+4\cdot x - 2\cdot x^2 - 2\cdot x}{2\cdot x+2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\cdot x}{2\cdot x+2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{2+\frac{2}{x}}=1

Tak więc ostatecznie wzór asymptoty funkcji f(x) będzie następujący:

wzór asymptoty funkcji [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a(x)=x + 1

Wykres funkcji f(x) oraz asymptoty poziomej pokazany został na poniższej ilustracji.

f(x)f(x)x-10-8-6-4-20246810-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52f(x) = (2 · x2 + 4 · x) / (2 · x + 2)a(x) = x + 1
Rys. 1
Wykres funkcji f(x) oraz jej asymptoty ukośnej
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Ktoś mógłby mi zarzucić, że nie policzyłem granic dla x→-∞, tą część zadania pozostawiam do rozwiązania samodzielnego czytelnikowi.

Funkcje, które mają asymptotę ukośną najczęściej dają się doprowadzić do postaci następującej:

Ogólna postać funkcji z ukośną asymptotą [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}+m(x)

gdzie m(x) jest funkcją liniową powodującą pochylenie asymptoty.

Komentarze