Wzór prostej stycznej do funkcji

Stronę tą wyświetlono już: 416 razy

Dana jest funkcja f(x), wyznaczyć funkcję opisującą styczną do punktu xs tejże funkcji. Prostą styczną opisuje funkcja liniowa postaci f(x)=ax+b, gdzie współczynnik a jest równy tangensowi kąta α zawartego między osią x a styczną. Wartość tą stanowić będzie pochodna danej funkcji f(x).

a=f'(x_s) [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a=f'(x_s)

Pozostało jedynie wyznaczenie współczynnika b szukanej funkcji, a ten uzyskany zostanie poprzez przekształcenie następującej równości:

f'left(x_sright)cdot x_s+b=fleft(x_sright) [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'\left(x_s\right)\cdot x_s+b=f\left(x_s\right)

Równość [2] wynika z faktu, iż funkcja styczna fs(x) do funkcji f(x) musi przejść przez punkt o współrzędnych xs, f(xs). W wyniku przekształcenia równości [2] wyznaczona została następująca wartość parametru b:

b=fleft(x_sright)-f'left(x_sright)cdot x_s [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b=f\left(x_s\right)-f'\left(x_s\right)\cdot x_s

Ostatecznie więc ogólny wzór funkcji stycznej fs(x) do funkcji f(x) w punkcie xs jest następujący:

f_s(x)=f'left(x_sright)cdot x+fleft(x_sright)-f'left(x_sright)cdot x_s [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f_s(x)=f'\left(x_s\right)\cdot x+f\left(x_s\right)-f'\left(x_s\right)\cdot x_s

Przykład

Wyznaczyć wzór prostej stycznej do funkcji f(x) w punkcie xs=3.

f(x)=x^2+x

Rozwiązanie:

Podstawiając do wzoru [4] otrzymujemy następującą funkcję:

f_s(x)=f'left(x_sright)cdot x+fleft(x_sright)-f'left(x_sright)cdot x_s=left(2cdot x_s+1right)cdot x+left(x_s^2+x_sright)-left(2cdot x_s+1right)cdot x_s=7cdot x-9

Jak widać na rysunku 1 funkcja fs(x) jest styczna do funkcji f(x) w punkcie o współrzędnych xs, f(xs).

-40-32-24-16-8081624-5-4-3-2-1012345Ps =[xs ,f(xs )]f(x) = x2 + xfs (x) = 7 · x - 9
Rys. 1
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Komentarze