Zadania

Stronę tą wyświetlono już: 473 razy

Zadanie 1 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=3cdot x^5+sqrt{2cdot x}

Rozwiązanie:

Należy zastosować twierdzenia [1], [2] oraz [6].

left(3cdot x^5+sqrt{2cdot x}
ight)'=3cdot 5cdot x^4+frac{1}{2cdot sqrt{2cdot x}}cdot 2=15cdot x^4+frac{1}{ sqrt{2cdot x}}cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}}=15cdot x^4+frac{sqrt{2}}{2cdot x}

Zadanie 2 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=sqrt{x^2+3cdot x+5}

Rozwiązanie:

left(sqrt{x^2+3cdot x+5}
ight)'=frac{1}{sqrt{x^2+3cdot x+5}}cdot left(2cdot x+3
ight)=frac{2cdot x+3}{sqrt{x^2+3cdot x+5}}

Zadanie 3 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=sin^2x

Rozwiązanie:

Należy zastosować twierdzenie [4].

left(sin^2xleft)'=left(sin xcdot sin x
ight)=cos xcdot sin x+sin xcdotcos x=2cdot sin xcdot cos x

Zadanie 4 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=frac{x^4+2cdot x^3+x}{x+1}

Rozwiązanie:

Należy zastosować twierdzenie [5].

left(frac{x^4+2cdot x^3+x}{x+1}
ight)'=frac{left(4cdot x^3+6cdot x^2+1
ight)cdot (x+1)-left(x^4+2cdot x^3+x
ight)}{x^2+2cdot x+1}=frac{4cdot x^4+6cdot x^3+x+4cdot x^3+6cdot x^2+1-x^4-2cdot x^3-x}{x^2+2cdot x+1}=frac{3cdot x^4+8cdot x^3 + 6cdot x^2+1}{x^2+2cdot x+1}

Zadanie 5 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=frac{x^2}{sqrt{3+sqrt{5}}}

Rozwiązanie:

Należy zastosować twierdzenie [1].

left(frac{x^2}{sqrt{3+sqrt{5}}}
ight)'=frac{1}{sqrt{3+sqrt{5}}}cdot left(x^2
ight)'=frac{1}{sqrt{3+sqrt{5}}}cdot 2cdot x

Zadanie 6 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=x^3cdot sqrt{x}

Rozwiązanie:

left(x^3cdot sqrt{x}
ight)'=left(x^3cdot x^{frac{1}{2}}
ight)'=left(x^{3+frac{1}{2}}
ight)'=3frac{1}{2}cdot x^{2frac{1}{2}}=3frac{1}{2}cdot x^2cdot sqrt{x}

Zadanie 7 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=frac{x^2+xcdot sqrt{x^3}}{5cdot sqrt{x^3}}

Rozwiązanie:

left(frac{x^2+xcdot sqrt{x^3}}{5cdot sqrt{x^3}}
ight)'=frac{1}{5}cdot left(x^{2-1frac{1}{2}}+x^{1+1frac{1}{2}-1frac{1}{2}}
ight)'=frac{1}{5}cdot left(x^{frac{1}{2}}+x
ight)'=frac{1}{5}cdot left(frac{1}{2sqrt{x}}+1
ight)=frac{1}{10cdot sqrt{x}}+frac{1}{5}

Zadanie 8 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=	an x

Rozwiązanie:

Rozwiązaniem pochodnej tej funkcji jest wzór [6] z strony Podstawowe wzory, jednakże tutaj ów wzór zostanie wyprowadzony.

left(	an x
ight)'=left(frac{sin x}{cos x}
ight)'=frac{cos xcdot cos x-sin xcdot left(-sin x
ight)}{cos^2x}=frac{cos^2x+sin^2 x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x}

Wykorzystane zostały wzory [9], [10] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne.

Zadanie 9 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=cos^2xcdot 	an x

Rozwiązanie:

left(cos^2xcdot 	an x
ight)'=left(cos xcdot cos x
ight)'cdot 	an x+cos^2xcdot frac{1}{cos^2x}=left(-sin xcdot cos x+cos xcdot left(-sin x
ight)
ight)cdot 	an x+1=1-2cdot sin xcdotcos xcdot 	an x

Zadanie 10 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=sinleft(sqrt{x^5}
ight)

Rozwiązanie:

left[sinleft(sqrt{x^5}
ight)
ight]'=cosleft(sqrt{x^5}
ight)cdot 2frac{1}{2}cdot x^{1frac{1}{2}}=cosleft(sqrt{x^5}
ight)cdot 2frac{1}{2}cdot xcdot sqrt{x}

Zadanie 11 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=sinleft(x^2+x
ight)cdot cosleft(x^2+x
ight)

Rozwiązanie:

left[sinleft(x^2+x
ight)cdot cosleft(x^2+x
ight)
ight]'=cosleft(x^2+x
ight)cdot left(2cdot x+1
ight)cdot cosleft(x^2+x
ight)+sinleft(x^2+x
ight)cdot left[-sinleft(x^2+x
ight)cdot left(2cdot x+1
ight)
ight]=left[cos^2left(x^2+x
ight)-sin^2left(x^2+x
ight)
ight]cdotleft(2cdot x+1
ight)

Zadanie 12 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=frac{sin^2 x}{cos x}

Rozwiązanie:

left(frac{sin^2 x}{cos x}
ight)'=left(	an xcdot sin x
ight)'=frac{1}{cos^2x}cdot sin x+	an xcdot cos x=frac{sin x}{cos^2x}+	an xcdot cos x

Zadanie 13 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=	an^2x

Rozwiązanie:

left(	an^2x
ight)'=left(	an xcdot 	an x
ight)'=frac{1}{cos^2x}cdot 	an x+	an xcdotfrac{1}{cos^2x}=2cdot frac{	an x}{cos^2x}

Zadanie 14 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=sinleft(e^x
ight)

Rozwiązanie:

left[sinleft(e^x
ight)
igt]'=cosleft(e^x
ight)cdot e^x

Zadanie 15 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=2^{x+1}

Rozwiązanie:

left(2^{x+1}
ight)'=2^{x+1}cdot ln 2cdot 1=2^{x+1}cdot ln 2

Zadanie 16 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=2^{x^2+2cdot x}

Rozwiązanie:

left(2^{x^2+2cdot x}
ight)'=2^{x^2+2cdot x}cdot ln 2 cdot left(2cdot x+2
ight)

Zadanie 17 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=2^{x+1}cdot 3^{x+1}

Rozwiązanie:

left(2^{x+1}cdot 3^{x+1}
ight)'=2^{x+1}cdot ln 2cdot 1cdot 3^{x+1}+2^{x+1}cdot 3^{x+1}cdot ln 3cdot 1=2^{x+1}cdot 3^{x+1}cdotleft(ln 2+ln 3
ight)=2^{x+1}cdot 3^{x+1}cdotln 6

Zadanie 18 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=ln left(x^3+2
ight)

Rozwiązanie:

left[ln left(x^3+2
ight)
ight]'=frac{1}{x^3+2}cdot 3cdot x^2

Zadanie 19 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=ln left(x^2+x
ight)+ln left(x^2-x
ight)

Rozwiązanie:

left[ln left(x^2+x
ight)+ln left(x^2-x
ight)
ight]'=left{lnleft[left(x^2+x
ight)cdot left(x^2-x
ight)
ight]
ight}'=left[lnleft(x^4-x^2
ight)
ight]'=frac{1}{x^4-x^2}cdot left(4cdot x^3-2cdot x
ight)=frac{4cdot x^2-2}{x^3-x}

Zadanie 20 Obliczyć pochodną funkcji:

f(x)=frac{ln left(x^3+4
ight)}{lnleft(x^2+2
ight)}

Rozwiązanie:

left[frac{ln left(x^3+4
ight)}{lnleft(x^2+2
ight)}
ight]'=frac{cfrac{1}{x^3+4}cdot 3cdot x^2 cdot lnleft(x^2+2
ight)-lnleft(x^3+4
ight)cdot cfrac{1}{x^2+2}cdot 2cdot x}{left[lnleft(x^2+2
ight)
ight]^2}=frac{cfrac{3cdot x^2 cdot lnleft(x^2+2
ight)}{x^3+4}-cfrac{lnleft(x^3+4
ight)cdot 2cdot x}{x^2+2}}{left[lnleft(x^2+2
ight)
ight]^2}=frac{3cdot
 x^2}{left(x^3+4
ight)cdot lnleft(x^2+2
ight)}-frac{lnleft(x^3+4
ight)cdot 2cdot x}{left(x^2+2left)cdot left[lnleft(x^2+2
ight)
ight]^2}

Komentarze