Obliczenia pochodnych funkcji z definicji

Stronę tą wyświetlono już: 675 razy

Obliczyć za pomocą wzoru [2] z działu Matematyka → Pochodna funkcji pochodne następujących funkcji:

a),f(x)=x^2;,b), f(x)=3cdot x^2;,c), f(x)=x+1;,d),f(x)=sqrt{x},,e), f(x)=sin(x);,f),f(x)=cos(x)

Pochodna funkcji a:

f'(x)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{fleft(x+Delta
ight) -f(x)}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{left(x+Delta x
ight)^2-x^2}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{x^2+2cdot xcdotDelta x+Delta x^2-x^2}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{2cdot xcdotDelta x+Delta x^2}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}2cdot x+Delta x=2cdot x

Pochodna funkcji b:

f'(x)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{fleft(x+Delta
ight) -f(x)}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{3cdotleft(x+Delta x
ight)^2-3cdot x^2}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{3cdot x^2+6cdot xcdotDelta x+3cdot Delta x^2-3cdot x^2}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{6cdot xcdotDelta x+3cdot Delta x^2}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}6cdot x+3cdot Delta x=6cdot x

Pochodna funkcji c:

f'(x)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{fleft(x+Delta x
ight) -f(x)}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{x+Delta x+1-x-1}{Delta x}=1

Pochodna funkcji d:

f'(x)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{fleft(x+Delta x
ight) -f(x)}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{sqrt{x+Delta x}-sqrt{x}}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{sqrt{x+Delta x}-sqrt{x}}{Delta x}cdotfrac{sqrt{x+Delta x}+sqrt{x}}{sqrt{x+Delta x}+sqrt{x}}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{x+Delta x-x}{Delta xcdotleft(sqrt{x+Delta x}+sqrt{x}
ight)}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{1}{sqrt{x+Delta x}+sqrt{x}}=frac{1}{2cdot sqrt{x}}

Pochodna funkcji e:

f'(x)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{fleft(x+Delta x
ight) -f(x)}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{sin left(x+Delta x
ight)-sin{x}}{Delta x}

Do dalszych obliczeń konieczna jest znajomość wzoru [14] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne. Ów wzór zostanie wykorzystany do rozpisania licznika ułamka funkcji pochodnej zapisanej powyżej.

f'(x)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{2cdot sin left(cfrac{x+Delta x-x}{2}
ight)cdot cosleft(cfrac{x+Delta x+x}{2}
ight)}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{2cdot sin left(cfrac{Delta x}{2}
ight)}{Delta x}cdot cosleft(x+cfrac{Delta x}{2}
ight)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{sin left(cfrac{Delta x}{2}
ight)}{cfrac{Delta x}{2}}cdot cosleft(x+cfrac{Delta x}{2}
ight)=1cdotcos{x}=cos x

W analogiczny sposób należy postąpić w przypadku funkcji f, z tą tylko różnicą, że zastosowany tutaj jest wzór [15] z działu Matematyka: Funkcje: Funkcje trygonometryczne:

f'(x)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{cos left(x+Delta x
ight)-cos{x}}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{-2cdot sin left(cfrac{x+Delta x-x}{2}
ight)cdot sinleft(cfrac{x+Delta x+x}{2}
ight)}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{-2cdot sin left(cfrac{Delta x}{2}
ight)}{Delta x}cdot sinleft(x+cfrac{Delta x}{2}
ight)=lim_{Delta x
ightarrow 0}-frac{sin left(cfrac{Delta x}{2}
ight)}{cfrac{Delta x}{2}}cdot sinleft(x+cfrac{Delta x}{2}
ight)=-1cdotsin{x}=-sin x

Komentarze