Funkcje wykładnicze

Stronę tą wyświetlono już: 504 razy

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=x^n

gdzie:

  • a - parametr funkcji a∈R+{1}

Prawa funkcji wykładniczych o tych samych podstawach

Mnożenie funkcji wykładniczych:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a^{f(x)}\cdot a^{g(x)}=a^{f(x)+g(x)}

Dzielenie funkcji wykładniczych:

Równanie [3] [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\frac{a^{f(x)}}{a^{g(x)}}=a^{f(x)-g(x)}

gdzie:

  • f(x), g(x) - dowolne funkcje

Przebieg funkcji wykładniczej

Dziedziną funkcji wykładniczych jest zbiór liczb rzeczywistych R, natomiast przeciwdziedzina zawiera się w przedziale (0; ∞).

Warto zauważyć że wszystkie funkcje wykładnicze mają wspólny punkt przecięcia z osią y, ponieważ równość: a0=1 jest spełniona dla dowolnej wartości parametru a.

Gdy parametr a>1 wtedy dla x→-∞ f(x)0, natomiast dla x→∞ f(x)→∞. W tym przypadku funkcja wykładnicza jest rosnąca od 0 do ∞.

Funckja wykładniczna-10123456789-3-2.4-1.8-1.2-0.600.61.21.82.43f(x = 0) = 1f(x) = ax
Rys. 1
Wykres funkcji wykładniczej f(x)=ax, gdzie parametr a>1.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Gdy parametr 0<a<1 wtedy dla x→-∞ f(x)→∞, natomiast dla x→∞ f(x)0. W tym przypadku funkcja wykładnicza jest malejąca od ∞ do 0.

Funckja wykładniczna-10123456789-3-2.4-1.8-1.2-0.600.61.21.82.43f(x = 0) = 1f(x) = ax
Rys. 2
Wykres funkcji wykładniczej f(x)=ax, gdzie parametr a spełnia nierówność 0<a<1.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Rozwiązanie równania typu ax=b dla a∈R+{1} oraz b∈R+ jest x=logab, ponieważ funkcja logarytmiczna zwraca wartość potęgi, do której trzeba podnieść liczbę a aby otrzymać liczbę b.<

Równania typu ab=ac są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy b=c, Natomiast równania typu af(x)=ag(x) są spełnione wtedy, gdy istnieje takie x że zachodzi równość f(x)=g(x).

Komentarze