Funkcje kwadratowe

Stronę tą wyświetlono już: 636 razy

Funkcją kwadratową nazywa się funkcję następującej postaci:

Równanie [1] [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c

gdzie:

  • a, b, c - parametry liczbowe funkcji kwadratowej
Funckja kwadratowa-2.7-1.8-0.900.91.82.73.64.5-5-4-3-2-1012345f(x) = a · x2 + b · x + c
Rys. 1
Wykres przebiegu funkcji kwadratowej f(x).
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Wpływ parametrów funkcji na jej przebieg

Parametr a zmienia rozpiętość paraboli, im parametr ten jest bliższy 0 tym bardziej kształt paraboli zbliża się do prostej danej wzorem g(x)=b⋅x-c. Parametr ten wpływa również na kierunek ramion, i tak gdy a<0 parabola jest skierowana ramionami w dół, gdy a>0 parabola jest skierowana ramionami ku górze. na rysunku 2 można zobaczyć parabole, których parametry a1, a2, a3 są dodatnie i spełniają następującą nierówność: a1<a2<a3.

Funckja kwadratowa-0.600.61.21.82.433.64.24.8-3-2.4-1.8-1.2-0.600.61.21.82.43f(x) = a1 · x2 g(x) = a2 · x2 h(x) = a3 · x2
Rys. 2
Wpływ parametru a na przebieg funkcji kwadratowej.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Parametr b zmienia położenie wierzchołka funkcji kwadratowej jak na rysunku 3, gdzie parametry b1, b2, b3 spełniają następującą nierówność b1>b2>b3. Gdy b<0 wierzchołek przesuwa się w prawo, natomiast gdy b>0 wierzchołek funkcji przesuwa się w lewo.

Funckja kwadratowa-20246810-5-4-3-2-1012345f(x) = x2 + b1 · xg(x) = x2 + b2 · xh(x) = x2 + b3 · x
Rys. 3
Wpływ parametru b na przebieg funkcji kwadratowej.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Parametr c przesuwa w pionie wykres funkcji zmieniając tym samym położenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej jak na rysunku 4, parametry c1, c2, c3 spełniają następującą nierówność c1<c2<c3.

Funckja kwadratowa0369121518212427-5-4-3-2-1012345f(x) = x2 + c1 g(x) = x2 + c2 h(x) = x2 + c3
Rys. 4
Wpływ parametru c na przebieg funkcji kwadratowej.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Położenie wierzchołka funkcji kwadratowej

Wierzchołek funkcji kwadratowej jest zarazem minimum (gdy parametr a>0) lub maksimum (gdy parametr a<0) funkcji kwadratowej. Miejsce zerowe pochodnej funkcji kwadratowej wyznacza położenie wierzchołka tejże funkcji na osi x. Pochodna dowolnej funkcji kwadratowej jest dana następującym wzorem:

Równanie [2] [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f'(x)=2\cdot a\cdot x+b

Równanie [7] jest równaniem prostej, dla której miejsce zerowe wyznaczające położenie wierzchołka funkcji kwadratowej f(x) znajduje się w punkcie danym następującym wzorem:

Wzór na podwójne miejsce zerowe funkcji [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_0=-\frac{b}{2\cdot a}

Do wzoru [1] za x podstawić należy wartość x0 z równania [3] w następujący sposób:

Równanie [4] [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y_0=a\cdot \left(\frac{-b}{2\cdot a}\right)^2+b\cdot \left(-\frac{b}{2\cdot a}\right)+c=\frac{a\cdot b^2}{4\cdot a^2}-\frac{b^2}{2\cdot a}+c=\frac{a\cdot b^2-b^2\cdot 2\cdot a+4\cdot a^2\cdot c}{4\cdot a^2}=\frac{b^2-2\cdot b^2+4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}=\frac{-b^2+4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}

Ujemna wartość licznika ostatecznego wyprowadzenia wzoru [4] nazywana jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej i oznaczana jest dużą literą alfabetu greckiego Δ. Tak więc wyznacznik ten ma następującą postać:

Wzór na wyznacznik funkcji kwadratowej [5]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c

Ostatecznie więc współrzędne wierzchołka W funkcji kwadratowej można wyliczyć z następujących zależności:

Wzór wyznaczający współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej [6]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

W=\left(\frac{-b}{2\cdot a}\;\frac{-\Delta}{4\cdot a}\right)

Gdy wyróżnik Δ=0, wierzchołek funkcji kwadratowej leży na osi x (mówi się wtedy, że funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe). W przypadku gdy Δ=0 i b=0 wierzchołek funkcji kwadratowej znajduje się w początku układu współrzędnych i również ma jedno miejsce zerowe. Gdy Δ>0, funkcja kwadratowa ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe a jej wierzchołek leży na osi y, gdy współczynnik b=0. Jeżeli wyróżnik Δ<0 to funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe leżące w zbiorze liczb zespolonych, a jej wierzchołek również leży na osi y, gdy b=0.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Podstawą do wyznaczenia wzoru na miejsca zerowe funkcji kwadratowej jest określenie położenia jej wierzchołka W, ponieważ odległość od niego do miejsc zerowych x1, x2 jest taka sama (rysunek 11). Wystarczy teraz wyznaczyć odległość |Wx-x1|, wykorzystując w tym celu znaną odległość Wy.

Funckja kwadratowa-2-1012345678-0.8-0.400.40.81.21.622.42.8f(x1 ) = 0f(x2 ) = 0f(xw = 1) = -1 (wierzchołek)f(x) = 4 · x2 - 8 · x + 3
Rys. 5
Rysunek pomocniczy do wyznaczenia miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Oznaczając umownie przez Δx szukaną odległość |Wx-x1|, można zapisać następną równość:

Równanie [7] [7]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a\cdot \Delta x^2=\frac{-b^2+4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}\Rightarrow \Delta x=\frac{\sqrt{-b^2+4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}

Powyższą równość otrzymuje się poprzez pominięcie we wzorze f(x)=a⋅x2+b⋅x+c czynnika b⋅x+c, podstawienie za f(x) współrzędnej Wy wierzchołka funkcji kwadratowej oraz za x zmienną Δx. Teraz pozostało jedynie do współrzędnej Wx dodać i odjąć uzyskaną wartość Δx otrzymując wzory na współrzędne miejsc zerowych x1, x2.

Równanie [8] [8]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_0=\frac{-b}{2\cdot a}pm \frac{\sqrt{-b^2+4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}=\frac{-b\pm\sqrt{-b^2+4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}

Gdy wyróżnik Δ=0, wzór [8] przyjmuje następującą uproszczoną postać:

Równanie [9] [9]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_0=\frac{-b}{2\cdot a}

Gdy wyróżnik Δ<0 funkcja ma dwa miejsca zerowe w zbiorze liczb zespolonych.

Kanoniczna postać równania kwadratowego

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej zawiera wyrażenia, będące współrzędnymi wierzchołka tej funkcji i ma następującą postać:

Równanie [10] [10]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=a\cdot \left(x+\frac{b}{2\cdot a}\right)^2-\frac{\Delta}{4\cdot a}

Postać iloczynowa równania kwadratowego

W skład tejże postaci równania kwadratowego wchodzą jej pierwiastki (wartości miejsc zerowych).

Dla Δ=0:

Równanie [11] [11]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=a\cdot \left(x-x_0\right)^2

Dla Δ0:

Równanie [12] [12]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

y=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)

Pierwiastki x1, x2 równania kwadratowego dla wyróżnika Δ<0 są liczbami urojonymi.

Postać ogólna równania kwadratowego - patrz równanie [1]

Własności funkcji kwadratowej

Dziedzina funkcji Df∈(-∞;∞)

Przeciwdziedzina funkcji należy do zbioru:

left<frac{-Delta}{4cdot a};inftyright)

gdy a>0;

left(-infty;frac{-Delta}{4cdot a}right>

gdy a<0

Dla a>0 funkcja malejąca, dla a<0 rosnąca w przedziale:

left(-infty;frac{-b}{2cdot a}right>

natomiast dla a>0 funkcja rosnąca, dla a<0 malejąca w przedziale:

left<frac{-b}{2cdot a};inftyright)

Wartości funkcji kwadratowej dla wyróżnika Δ<0 przyjmują znak zgodny z znakiem wartości parametru a funkcji.

Gdy Δ=0, funkcja przybiera wartości zgodne ze znakiem wartości parametru a z wyjątkiem punktu wierzchołka tejże funkcji.

Gdy Δ>0, funkcja przyjmuje wartości dodatnie gdy a>0, i ujemne gdy a<0 w przedziałach (-∞; x1);∪(x2;∞), natomiast wartości dodatnie dla a>0 oraz ujemna dla a<0 w przedziale (x1;x2). W punktach x1, x2 funkcja przyjmuje wartości zerowe.<

Wierzchołek W funkcji kwadratowej stanowi jej maksimum globalne gdy a<0, natomiast minimum globalne gdy a>0.

Komentarze