Funkcje liniowe

Stronę tą wyświetlono już: 571 razy

Funkcją liniową nazywa się funkcję następującej postaci:

Ogólny wzór funkcji liniowej [1]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

f(x)=a\cdot x+b

gdzie:

  • a - parametr kierunkowy funkcji f(x), który jest równy tangensowi kąta α zawartego pomiędzy osią x a linią wykresu funkcji f(x) ;
  • b - parametr przesunięcia funkcji równy wartości funkcji f(x) dla x=0.
Wykres funkcji liniowej-1.5-1-0.500.511.522.533.5-5-4-3-2-1012345b α f(x) = a · x + b
Rys. 1
Wykres funkcji liniowej.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Funkcję linową można opisać za pomocą dwóch nie pokrywających się punktów, w takim przypadku możliwe jest wyznaczenie wzoru na prostą przechodzącą przez owe punkty poprzez wyznaczenie parametrów a i b w następujący sposób:

Wzór na wyznaczenie parametru a funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty: a=tg(x)= Delta y / Delta x = (P_2.y-P_1.y)/(P_2.x-P_2.x) [2]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

a=tg\,x=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{P_2.y-P_1.y}{P_2.x-P_2.x}

założenia:

  • P1P2 - punkty się nie pokrywają;
  • Δx0 - przyrost odległości pomiędzy punktami na osi x jest różny od zera.

gdzie:

  • P1, P2 - punkty, przez które przechodzi prosta
  • Δx, Δy - przyrost odległości pomiędzy punktami P1, P2
Wzór na wyznaczenie parametru b funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty: b=P_1.y-acdot P_1.x [3]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

b=P_1.y-a\cdot P_1.x

Funkcja liniowa-1.5-1-0.500.511.522.533.5-5-4-3-2-1012345P2 P1 f(x) = a · x + b
Rys. 2
Wykres funkcji liniowej przechodzącej przez punkty P1, P2.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Miejsce zerowe funkcji liniowej można wyznaczyć przekształcając wzór [1] do następującej postaci:<

Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej: x_0 = -b/a [4]

Zapis wyrażenia w formacie TeX-a:

x_0=-\frac{b}{a}

Wyznaczanie punktu przecięcia się dwóch funkcji liniowych f(x) i g(x) jest możliwe tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek: a1a2, przy czym gdy a1=a2 oraz b1=b2 funkcje f(x), g(x) pokrywają się i mają nieskończenie wiele wspólnych punktów. W przypadku, gdy a1=a2 i b1b2 funkcje f(x), g(x) są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

W przypadku, gdy funkcje f(x) i g(x) mają jeden punkt wspólny, możliwe jest jego wyznaczenie poprzez przyrównanie stronami obu tych funkcji w następujący sposób:

Dla x wyznaczonego ze wzoru [5] wartości funkcji f(x), g(x) w tymże punkcie są takie same i stanowią współrzędną y punktu przecięcia się tych funkcji.

Funkcje liniowe - punkt przecięcia-1.5-1-0.500.511.522.533.5-5-4-3-2-1012345Pf(x) = a1 · x + b1 f(x) = a2 · x + b2
Rys. 3
Wykresy funkcji f(x) i g(x) przecinających się w punkcie p."
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Własności funkcji liniowych

Dla wartości parametru a

=0 funkcja liniowa jest funkcją stałą i nie ma miejsc zerowych gdy b0, lub ma ich nieskończenie wiele gdy b=0, przeciwdziedzina funkcji przyjmuje wartość stałą równą parametrowi b;

Funkcje liniowa stała-1.2-0.8-0.400.40.81.21.622.4-5-4-3-2-1012345f(x) = 1.5
Rys. 4
Wykres przebiegu funkcji liniowej f(x) dla parametru a=0.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

<0 funkcja jest malejąca w całym zbiorze dziedziny funkcji Df, w przedziale od -∞ do -b/a funkcja jest dodatnia, natomiast w przedziale od -b/a do funkcja jest ujemna;

Funkcja liniowa malejąca-1.5-1-0.500.511.522.533.5-5-4-3-2-1012345 - b / af(x) = a · x + b
Rys. 5
Wykres przebiegu funkcji liniowej f(x) dla parametru a<0.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

>0 funkcja jest rosnąca w całym zbiorze dziedziny funkcji Df, w przedziale od -∞ do -b/a funkcja jest ujemna, natomiast w przedziale od -b/a do funkcja jest dodatnia.

Funkcja liniowa rosnąca-1.5-1-0.500.511.522.533.5-5-4-3-2-1012345 - b / af(x) = a · x + b
Rys. 6
Wykres przebiegu funkcji liniowej f(x) dla parametru a>0.
Źródło:
Wykres wygenerowany przes skrypt PHP autora strony opisany na stronie Programowanie → Skrypty PHP → Skrypt PHP generujący wykres funkcji 2W

Komentarze