Niezależnośc zdarzeń

Stronę tą wyświetlono już: 572 razy

Często w różnych doświadczeniach mamy do czynienia z taką sytuacją, że zajście jednego ze zdarzeń nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia innego zdarzenia. Mówimy wtedy, że zdarzenia te przebiegają niezależnie od siebie np. dwukrotny rzut monetą lub dwukrotny rzut kostką do gry.

Definicja I

Mówimy, że zdarzenia A, BΩ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

P(A inter B)=P(A)*P(B) [1]

Gdy warunek [1] nie jest spełniony zdarzenia A i B są od siebie zależne.

Definicja II

Niezależność trójki zdarzeń A, B, CΩ.

Mówimy, że zdarzenia A, B, C

P(A inter B)=P(A)*P(B) [2]
P(A inter C)=P(A)*P(C) [3]
P(B inter C)=P(B)*P(C) [4]
P(A inter B inter C)=P(A)*P(B)*P(C) [5]

Zadanie 1

Rzucam 3 razy monetą. Rozważmy zdarzenia: A - w którym wyrzucono reszkę w pierwszym lub drugim rzucie; B - zdarzenie w którym wylosowano reszkę w drugim lub trzecim rzucie. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne.

Rozwiązanie:

Doświadczenie 3 etapowe

I etap - pierwszy rzut monetą overline{overline{Omega_{1}}}=2

II etap - drugi rzut monetą overline{overline{Omega_{2}}}=2

III etap - trzeci rzut monetą overline{overline{Omega_{3}}}=2

drzewo prawdopodobieństwa do zadania 1
Rys. 1
Drzewo prawdopodobieństwa.

Należy sprawdzić warunek [1] dla rozpatrywanych zdarzeń, a więc trzeba obliczyć prawdopodobieństwa poszczególnych elementów warunku [1]:

drzewo prawdopodobieństwa do zadania 1
Rys. 2
Drzewo prawdopodobieństwa z zaznaczonymi gałęziami sprzyjającymi zajściu zdarzenia A.
P(A)={{1}/{2}}*{{1}/{2}}*{{1}/{2}}*6={{3}/{4}} [6]
drzewo prawdopodobieństwa do zadania 1
Rys. 4
Drzewo prawdopodobieństwa z zaznaczonymi gałęziami sprzyjającymi zajściu zdarzenia B.
P(B)={{1}{8}}*6={{3}/{4}} [7]
drzewo prawdopodobieństwa do zadania 1
Rys. 5
Drzewo prawdopodobieństwa z zaznaczonymi gałęziami sprzyjającymi zajściu zdarzenia A∪B.
P(A inter B)={{1}/{8}}*5={{5}/{8}} [8]

Sprawdzenie warunku [1]:

{{5}/{8}}<>{{3}/{4}}*{{3}/{4}} [9]

Zdarzenia A i B są zależne.

Zadanie 2

Rzucamy dwiema kostkami do gry. A - zdarzenie, w którym wylosowano na pierwszej kostce jeden. B - zdarzenie, w którym wyrzucono dwójkę na drugiej kostce. Sprawdź, czy zdarzenia A iB są niezależne.

Rozwiązanie:

Doświadczenie dwuetapowe:

Ω - zdarzenie, które tworzą dwuelementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 6-cio elmentowego

overline{overline{Omega}}={V_{6}}^{2}=6^{2}=36 [10]

Obliczamy prawdopodobieństwa cząstkowe warunku [1]:

overline{overline{A}}={{V_{1}}^{1}}*{{V_{6}}^{1}}=6 [11]
P(A)={{overline{overline{A}}}/{overline{overline{Omega}}}}={{1}/{6}} [12]
overline{overline{B}}={{V_{6}}^{1}}*{{V_{1}}^{1}}=6 [13]
P(B)={{overline{overline{B}}}/{overline{overline{Omega}}}}={{1}/{6}} [14]
overline{overline{A inter B}}={{V_{1}}^{1}}*{{V_{1}}^{1}}=1 [15]
P(A inter B)={{overline{overline{A inter B}}}/{overline{overline{Omega}}}}={{1}/{36}} [16]

Sprawdzenie warunku [1]:

{{1}/{36}}<>{{1}/{6}}*{{1}/{6}} [17]

Zdarzenia A, B są zależne.

Komentarze