Prawdopodobieństwo całkowite

Stronę tą wyświetlono już: 784 razy

Z prawdopodobieństwem całkowitym mamy do czynienia np. 1) przy losowaniu kuli z kilku urn; 2) przy losowaniu ucznia z kilku klas itd. itp.

Twierdzenie:

Jeżeli zdarzenia B1, B2, B3, ...., BnΩ i spełniają one warunki:

1) każde dwa zdarzenia parami są rozłączne, tzn. BiBj=ϕ, gdzie i, j = 1, 2, ..., n i ij;

2) B1B2B3∪ .... ∪ Bn =Ω

3) P(B1)>0 i P(B2>0 i ... i P(Bn)>0

to dla dowolnego zdarzenia AΩ zachodzi związek:

P(A)=sum{i=1}{n}{P(A backslash B_{i})*P(B_{i})} [1]

Schemat dla prawdopodobieństwa całkowitego

schemat drzewa dla prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń
Rys. 1
Schemat drzewa dla prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń

Zadanie 1

W urnie U1 jest 6 kul białych i 4 kule czarne, a w urnie U2 znajdują się 4 białe i 8 czarnych. Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba oczek podzielna przez trzy, to losujemy dwie kule z urny U1 w przeciwnym razie losujemy dwie kule z urny U2. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.

Rozwiązanie:

Do czynienia mamy tutaj z prawdopodobieństwem całkowitym, składającym się z dwóch etapów:

Etap I - rzut kostką overline{overline{Omega{1}}}=6:

B1 - zdarzenie, w którym liczba wyrzuconych oczek jest podzielna przez trzy overline{overline{B_{1}}}=2

B2 - zdarzenie, w którym liczba wyrzuconych oczek jest niepodzielna przez trzy overline{overline{B_{2}}}=4

Etap II - losowanie kul z odpowiedniej urny

A - zdarzenie, w którym wylosowano dwie kule białe.

drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń do zadania 1
Rys. 2
Drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń.
P(A)=P(A backslash B_{1})*P(B_{1})+P(A backslash B_{2})*P(B_{2})={{2}/{6}}*{{6}/{10}}*{{5}/{9}}+{{4}/{6}}*{{4}/{12}}*{{3}/{11}}={{5}/{22}}approx 22,7% [2]

Zadanie 2

W pewnej grupie ludzi dane dotyczące płci i koloru oczu pokazują poniższe wykresy.

wykresy do zadania 2
Rys. 3
Wykresy do zadania

Wybrano losowo jedną osobę, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ma ona zielone oczy?

Rozwiązanie:

Doświadczenie dwuetapowe:

I etap - losowanie osoby ze względu na płeć:

B1 - zdarzenie, w którym wylosowano chłopaka;

B2 - zdarzenie, w którym wylosowano dziewczynę

II etap - sprawdzanie koloru oczu wylosowanej osoby

Dn - dziewczyna z niebieskimi oczami;

Dz - dziewczyna z zielonymi oczami oczami;

Chn - chłopak z niebieskimi oczami;

Chz - chłopak z zielonymi oczami;

[rys} src="rysunki/d_020.png" alt="drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń do zadania 2" nr="3" description="Drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń."[/rys]

A - zdarzenie, w którym wylosowano osobę z zielonymi oczami

P(A)=P(A backslash B_{1})*P(B_{1})+P(A backslash B_{2})*P(B_{2})={{3}/{5}}*{{1}/{5}}+{{2}/{5}}*{{3}/{10}}={{6}/{25}}=24% [3]

Zadanie 3

Uczniowie zorganizowali loterię fantową. Przygotowali 150 wśród których 10 wygrywa. Kupujący los ma do wyboru dwa warianty: I los kupiony z pojemnika, w którym są wszystkie losy; II losy umieszczone są w trzech pojemnikach: zielonym, gdzie znajduje się 47 losów pustych i 5 wygrywających; czerwonym, gdzie znajduje się 45 losów pustych i 5 wygrywających; czarnego, gdzie znajduje się 48 losów pustych i 2 losy wygrywające. Kupujący rzuca kostką, jeżeli wypadnie 6 to losuje z pojemnika czerwonego, jeżeli 5 lub 4 to z zielonego, w pozostałych przypadkach z czarnego. Który z wariantów jest bardziej korzystny dla kupującego?

Rozwiązanie:

Wariant I

Doświadczenie jednoetapowe, overline{overline{Omega}}=150

A - zdarzenie, w którym kupiono los wygrywający, overline{overline{A}}=10

P(A)={{overline{overline{A}}}/{overline{overline{Omega}}}}={{1}/{15}}approx 6,7% [3]
Wariant II

Doświadczenie dwuetapowe:

Etap I - rzut kostką overline{overline{Omega}}=6:

B1 - zdarzenie, w którym wypadło 6 oczek overline{overline{B_{1}}}=1

B2 - zdarzenie, w którym wypadło 4 lub 5 oczek overline{overline{B_{2}}}=2

B3 - zdarzenie, w którym wypadło 1, 2 lub 3 oczek overline{overline{B_{3}}}=3

Etap II - losowanie losu z odpowiedniego pudła.

drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń do zadania 3
Rys. 4
Drzewo prawdopodobieństwa całkowitego zdarzeń.

A - zdarzenie, w którym wylosowano los wygrywający.

P(A)=P(A backslash B_{1})*P(B_{1})+P(A backslash B_{2})*P(B_{2})={{1}/{6}}*{{5}/{50}}+{{2}/{6}}*{{3}/{50}}+{{3}/{6}}*{{2}/{50}}={{17}/{300}}approx 5,7% [4]

Prawdopodobieństwo wygrania w wariancie pierwszym jest o jeden procent większe niż w wariancie drugim.

Komentarze